第 8537 題：指定非零步長的有限差商

原題與已知條件

全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=-11x²+(-1)x+(22)，x=-1、整數步長 h=-3≠0。求 (f(x+h)−f(x))/h，採最簡正分母分數。

• G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=-11x²+(-1)x+(22)，x=-1、整數步長 h=-3≠0。求 (f(x+h)−f(x))/h，採最簡正分母分數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-derivative

逐步推導

declared real formula on all R;derivative means the two-sided h->0 quotient limit

finite-step evaluation and derivative existence are separate

at original x a*x := mul(-11, -1)

at original x a*x = 11

at original x a*x+b := sum(11, -1)

at original x a*x+b = 10

at original x (a*x+b)*x := mul(10, -1)

at original x (a*x+b)*x = -10

at original x f(x) := sum(-10, 22)

at original x f(x) = 12

f(t)=(-11)*t^2+(-1)*t+(22);x=-1;f(x)=12;h!=0

f(x+h)-f(x)=h*(2*(-11)*(-1)+(-1)+(-11)*h)

twice quadratic coefficient := mul(2, -11)

twice quadratic coefficient = -22

twice a times x := mul(-22, -1)

twice a times x = 22

linear part of quotient := sum(22, -1)

linear part of quotient = 21

shifted input x+h := sum(-1, -3)

shifted input x+h = -4

at shifted x a*x := mul(-11, -4)

at shifted x a*x = 44

at shifted x a*x+b := sum(44, -1)

at shifted x a*x+b = 43

at shifted x (a*x+b)*x := mul(43, -4)

at shifted x (a*x+b)*x = -172

at shifted x f(x) := sum(-172, 22)

at shifted x f(x) = -150

finite increment f(x+h)-f(x) := sub(-150, 12)

finite increment f(x+h)-f(x) = -162

specified finite quotient := div(-162, -3)

specified finite quotient = 54

finite-step quadratic correction := mul(-11, -3)

finite-step quadratic correction = 33

expanded finite quotient := sum(21, 33)

expanded finite quotient = 54

finite quotient minus derivative := sub(54, 21)

finite quotient minus derivative = 33

h=-3;finite quotient=54/1;derivative value=21

difference=33;a2*h=33

逐步反向核對

• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite quotient minus derivative，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded finite quotient，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite-step quadratic correction，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 specified finite quotient，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite increment f(x+h)-f(x)，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at shifted x f(x)，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at shifted x (a*x+b)*x，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at shifted x a*x+b，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at shifted x a*x，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shifted input x+h，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 linear part of quotient，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 twice a times x，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x f(x)，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x (a*x+b)*x，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x a*x+b，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x a*x，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

54/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。