第 8547 題：指定非零步長的有限差商

原題與已知條件

全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=-21x²+(9)x+(42)，x=-1、整數步長 h=-1≠0。求 (f(x+h)−f(x))/h，採最簡正分母分數。

• G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=-21x²+(9)x+(42)，x=-1、整數步長 h=-1≠0。求 (f(x+h)−f(x))/h，採最簡正分母分數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-derivative

逐步推導

declared real formula on all R;derivative means the two-sided h->0 quotient limit

finite-step evaluation and derivative existence are separate

at original x a*x := mul(-21, -1)

at original x a*x = 21

at original x a*x+b := sum(21, 9)

at original x a*x+b = 30

at original x (a*x+b)*x := mul(30, -1)

at original x (a*x+b)*x = -30

at original x f(x) := sum(-30, 42)

at original x f(x) = 12

f(t)=(-21)*t^2+(9)*t+(42);x=-1;f(x)=12;h!=0

f(x+h)-f(x)=h*(2*(-21)*(-1)+(9)+(-21)*h)

twice quadratic coefficient := mul(2, -21)

twice quadratic coefficient = -42

twice a times x := mul(-42, -1)

twice a times x = 42

linear part of quotient := sum(42, 9)

linear part of quotient = 51

shifted input x+h := sum(-1, -1)

shifted input x+h = -2

at shifted x a*x := mul(-21, -2)

at shifted x a*x = 42

at shifted x a*x+b := sum(42, 9)

at shifted x a*x+b = 51

at shifted x (a*x+b)*x := mul(51, -2)

at shifted x (a*x+b)*x = -102

at shifted x f(x) := sum(-102, 42)

at shifted x f(x) = -60

finite increment f(x+h)-f(x) := sub(-60, 12)

finite increment f(x+h)-f(x) = -72

specified finite quotient := div(-72, -1)

specified finite quotient = 72

finite-step quadratic correction := mul(-21, -1)

finite-step quadratic correction = 21

expanded finite quotient := sum(51, 21)

expanded finite quotient = 72

finite quotient minus derivative := sub(72, 51)

finite quotient minus derivative = 21

h=-1;finite quotient=72/1;derivative value=51

difference=21;a2*h=21

逐步反向核對

• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite quotient minus derivative，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded finite quotient，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite-step quadratic correction，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 specified finite quotient，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite increment f(x+h)-f(x)，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at shifted x f(x)，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at shifted x (a*x+b)*x，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at shifted x a*x+b，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at shifted x a*x，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 shifted input x+h，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 linear part of quotient，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 twice a times x，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x f(x)，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x (a*x+b)*x，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x a*x+b，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 at original x a*x，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

72/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。