第 1400 題：含實際常數的原函數值

原題與已知條件

全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[12, 25, -1, 1]，F0 為零常數 canonical primitive。令 F=F0+(12)，求 F(1)，採最簡正分母分數。

• G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。升冪係數 f=[12, 25, -1, 1]，F0 為零常數 canonical primitive。令 F=F0+(12)，求 F(1)，採最簡正分母分數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-antiderivative

逐步推導

domain=R; coefficient lists are in ascending powers

constant term first; rational pairs=[numerator,denominator]

f coefficients ascending=[12, 25, -1, 1]

seek F₀ with constant coefficient0 and F₀′=f

primitive coefficient at degree1 := div(12, 1)

primitive coefficient at degree1 = 12

differentiate back coefficient0 := mul(12, 1)

differentiate back coefficient0 = 12

primitive coefficient at degree2 := div(25, 2)

primitive coefficient at degree2 = 25/2

differentiate back coefficient1 := mul(25/2, 2)

differentiate back coefficient1 = 25

primitive coefficient at degree3 := div(-1, 3)

primitive coefficient at degree3 = -1/3

differentiate back coefficient2 := mul(-1/3, 3)

differentiate back coefficient2 = -1

primitive coefficient at degree4 := div(1, 4)

primitive coefficient at degree4 = 1/4

differentiate back coefficient3 := mul(1/4, 4)

differentiate back coefficient3 = 1

[0, 12, 25/2, -1/3, 1/4]

all derivative coefficients agree with f

constant coefficient+C := sum(0, 12)

constant coefficient+C = 12

F(x) multiply at degree4 := mul(0, 1)

F(x) multiply at degree4 = 0

F(x) add coefficient4 := sum(0, 1/4)

F(x) add coefficient4 = 1/4

F(x) multiply at degree3 := mul(1/4, 1)

F(x) multiply at degree3 = 1/4

F(x) add coefficient3 := sum(1/4, -1/3)

F(x) add coefficient3 = -1/12

F(x) multiply at degree2 := mul(-1/12, 1)

F(x) multiply at degree2 = -1/12

F(x) add coefficient2 := sum(-1/12, 25/2)

F(x) add coefficient2 = 149/12

F(x) multiply at degree1 := mul(149/12, 1)

F(x) multiply at degree1 = 149/12

F(x) add coefficient1 := sum(149/12, 12)

F(x) add coefficient1 = 293/12

F(x) multiply at degree0 := mul(293/12, 1)

F(x) multiply at degree0 = 293/12

F(x) add coefficient0 := sum(293/12, 12)

F(x) add coefficient0 = 437/12

x=1; additive constant=12

F(x)=437/12

逐步反向核對

• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) add coefficient0，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) multiply at degree0，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) add coefficient1，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) multiply at degree1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) add coefficient2，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) multiply at degree2，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) add coefficient3，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) multiply at degree3，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) add coefficient4，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 F(x) multiply at degree4，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 constant coefficient+C，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 differentiate back coefficient3，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive coefficient at degree4，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 differentiate back coefficient2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive coefficient at degree3，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 differentiate back coefficient1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 differentiate back coefficient0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

437/12

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。