第 32610 題：仿射式的左端有限和

原題與已知條件

全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=-10x+(-3)，區間 [-1,4] 分為 N=10 等份。求左端有限和 ΔΣ f(a+iΔ)，i=0至N−1、Δ=(b−a)/N。

• G001 — 全實數論域，以下函數／點均以明示實數模型解讀。f(x)=-10x+(-3)，區間 [-1,4] 分為 N=10 等份。求左端有限和 ΔΣ f(a+iΔ)，i=0至N−1、Δ=(b−a)/N。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-definite-integral

逐步推導

source roles = [qf-integral-affine-left-sum, affine_left_sum, reals, []]

derived = [[finite_left_sum_fraction_RETAIN1]]

Left sum ORIGINAL upper minus lower endpoint := sub(4, -1)

Left sum ORIGINAL upper minus lower endpoint = 5

Left sum ORIGINAL width over positive cell count := div(5, 10)

Left sum ORIGINAL width over positive cell count = 1/2

Left sum ORIGINAL sample0 index times width := mul(0, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample0 index times width = 0

Left sum ORIGINAL sample0 lower plus offset := sum(-1, 0)

Left sum ORIGINAL sample0 lower plus offset = -1

Left sum ORIGINAL sample0 slope times x := mul(-10, -1)

Left sum ORIGINAL sample0 slope times x = 10

Left sum ORIGINAL sample0 affine value plus c := sum(10, -3)

Left sum ORIGINAL sample0 affine value plus c = 7

Left sum ORIGINAL sample0 value times cell width := mul(7, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample0 value times cell width = 7/2

Left sum ORIGINAL accumulated term0 := sum(0, 7/2)

Left sum ORIGINAL accumulated term0 = 7/2

source roles = [0, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2]

derived = [-1/1, 7/1, 7/2, 7/2]

Left sum ORIGINAL sample1 index times width := mul(1, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample1 index times width = 1/2

Left sum ORIGINAL sample1 lower plus offset := sum(-1, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample1 lower plus offset = -1/2

Left sum ORIGINAL sample1 slope times x := mul(-10, -1/2)

Left sum ORIGINAL sample1 slope times x = 5

Left sum ORIGINAL sample1 affine value plus c := sum(5, -3)

Left sum ORIGINAL sample1 affine value plus c = 2

Left sum ORIGINAL sample1 value times cell width := mul(2, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample1 value times cell width = 1

Left sum ORIGINAL accumulated term1 := sum(7/2, 1)

Left sum ORIGINAL accumulated term1 = 9/2

source roles = [1, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2]

derived = [-1/2, 2/1, 1/1, 9/2]

Left sum ORIGINAL sample2 index times width := mul(2, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample2 index times width = 1

Left sum ORIGINAL sample2 lower plus offset := sum(-1, 1)

Left sum ORIGINAL sample2 lower plus offset = 0

Left sum ORIGINAL sample2 slope times x := mul(-10, 0)

Left sum ORIGINAL sample2 slope times x = 0

Left sum ORIGINAL sample2 affine value plus c := sum(0, -3)

Left sum ORIGINAL sample2 affine value plus c = -3

Left sum ORIGINAL sample2 value times cell width := mul(-3, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample2 value times cell width = -3/2

Left sum ORIGINAL accumulated term2 := sum(9/2, -3/2)

Left sum ORIGINAL accumulated term2 = 3

source roles = [2, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2]

derived = [0/1, -3/1, -3/2, 3/1]

Left sum ORIGINAL sample3 index times width := mul(3, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample3 index times width = 3/2

Left sum ORIGINAL sample3 lower plus offset := sum(-1, 3/2)

Left sum ORIGINAL sample3 lower plus offset = 1/2

Left sum ORIGINAL sample3 slope times x := mul(-10, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample3 slope times x = -5

Left sum ORIGINAL sample3 affine value plus c := sum(-5, -3)

Left sum ORIGINAL sample3 affine value plus c = -8

Left sum ORIGINAL sample3 value times cell width := mul(-8, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample3 value times cell width = -4

Left sum ORIGINAL accumulated term3 := sum(3, -4)

Left sum ORIGINAL accumulated term3 = -1

source roles = [3, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2]

derived = [1/2, -8/1, -4/1, -1/1]

Left sum ORIGINAL sample4 index times width := mul(4, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample4 index times width = 2

Left sum ORIGINAL sample4 lower plus offset := sum(-1, 2)

Left sum ORIGINAL sample4 lower plus offset = 1

Left sum ORIGINAL sample4 slope times x := mul(-10, 1)

Left sum ORIGINAL sample4 slope times x = -10

Left sum ORIGINAL sample4 affine value plus c := sum(-10, -3)

Left sum ORIGINAL sample4 affine value plus c = -13

Left sum ORIGINAL sample4 value times cell width := mul(-13, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample4 value times cell width = -13/2

Left sum ORIGINAL accumulated term4 := sum(-1, -13/2)

Left sum ORIGINAL accumulated term4 = -15/2

source roles = [4, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2]

derived = [1/1, -13/1, -13/2, -15/2]

Left sum ORIGINAL sample5 index times width := mul(5, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample5 index times width = 5/2

Left sum ORIGINAL sample5 lower plus offset := sum(-1, 5/2)

Left sum ORIGINAL sample5 lower plus offset = 3/2

Left sum ORIGINAL sample5 slope times x := mul(-10, 3/2)

Left sum ORIGINAL sample5 slope times x = -15

Left sum ORIGINAL sample5 affine value plus c := sum(-15, -3)

Left sum ORIGINAL sample5 affine value plus c = -18

Left sum ORIGINAL sample5 value times cell width := mul(-18, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample5 value times cell width = -9

Left sum ORIGINAL accumulated term5 := sum(-15/2, -9)

Left sum ORIGINAL accumulated term5 = -33/2

source roles = [5, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2]

derived = [3/2, -18/1, -9/1, -33/2]

Left sum ORIGINAL sample6 index times width := mul(6, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample6 index times width = 3

Left sum ORIGINAL sample6 lower plus offset := sum(-1, 3)

Left sum ORIGINAL sample6 lower plus offset = 2

Left sum ORIGINAL sample6 slope times x := mul(-10, 2)

Left sum ORIGINAL sample6 slope times x = -20

Left sum ORIGINAL sample6 affine value plus c := sum(-20, -3)

Left sum ORIGINAL sample6 affine value plus c = -23

Left sum ORIGINAL sample6 value times cell width := mul(-23, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample6 value times cell width = -23/2

Left sum ORIGINAL accumulated term6 := sum(-33/2, -23/2)

Left sum ORIGINAL accumulated term6 = -28

source roles = [6, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2]

derived = [2/1, -23/1, -23/2, -28/1]

Left sum ORIGINAL sample7 index times width := mul(7, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample7 index times width = 7/2

Left sum ORIGINAL sample7 lower plus offset := sum(-1, 7/2)

Left sum ORIGINAL sample7 lower plus offset = 5/2

Left sum ORIGINAL sample7 slope times x := mul(-10, 5/2)

Left sum ORIGINAL sample7 slope times x = -25

Left sum ORIGINAL sample7 affine value plus c := sum(-25, -3)

Left sum ORIGINAL sample7 affine value plus c = -28

Left sum ORIGINAL sample7 value times cell width := mul(-28, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample7 value times cell width = -14

Left sum ORIGINAL accumulated term7 := sum(-28, -14)

Left sum ORIGINAL accumulated term7 = -42

source roles = [7, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2]

derived = [5/2, -28/1, -14/1, -42/1]

Left sum ORIGINAL sample8 index times width := mul(8, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample8 index times width = 4

Left sum ORIGINAL sample8 lower plus offset := sum(-1, 4)

Left sum ORIGINAL sample8 lower plus offset = 3

Left sum ORIGINAL sample8 slope times x := mul(-10, 3)

Left sum ORIGINAL sample8 slope times x = -30

Left sum ORIGINAL sample8 affine value plus c := sum(-30, -3)

Left sum ORIGINAL sample8 affine value plus c = -33

Left sum ORIGINAL sample8 value times cell width := mul(-33, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample8 value times cell width = -33/2

Left sum ORIGINAL accumulated term8 := sum(-42, -33/2)

Left sum ORIGINAL accumulated term8 = -117/2

source roles = [8, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2]

derived = [3/1, -33/1, -33/2, -117/2]

Left sum ORIGINAL sample9 index times width := mul(9, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample9 index times width = 9/2

Left sum ORIGINAL sample9 lower plus offset := sum(-1, 9/2)

Left sum ORIGINAL sample9 lower plus offset = 7/2

Left sum ORIGINAL sample9 slope times x := mul(-10, 7/2)

Left sum ORIGINAL sample9 slope times x = -35

Left sum ORIGINAL sample9 affine value plus c := sum(-35, -3)

Left sum ORIGINAL sample9 affine value plus c = -38

Left sum ORIGINAL sample9 value times cell width := mul(-38, 1/2)

Left sum ORIGINAL sample9 value times cell width = -19

Left sum ORIGINAL accumulated term9 := sum(-117/2, -19)

Left sum ORIGINAL accumulated term9 = -155/2

source roles = [9, 10, -10, -3, -1, 4, 1/2]

derived = [7/2, -38/1, -19/1, -155/2]

source roles = [10, -10, -3, -1, 4]

derived = [1/2, -155/2]

逐步反向核對

• S074 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S073 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term9，不以小數近似替代。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample9 value times cell width，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample9 affine value plus c，不以小數近似替代。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample9 slope times x，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample9 lower plus offset，不以小數近似替代。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample9 index times width，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term8，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample8 value times cell width，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample8 affine value plus c，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample8 slope times x，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample8 lower plus offset，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample8 index times width，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term7，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample7 value times cell width，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample7 affine value plus c，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample7 slope times x，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample7 lower plus offset，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample7 index times width，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term6，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample6 value times cell width，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample6 affine value plus c，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample6 slope times x，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample6 lower plus offset，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample6 index times width，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term5，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample5 value times cell width，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample5 affine value plus c，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample5 slope times x，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample5 lower plus offset，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample5 index times width，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term4，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 value times cell width，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 affine value plus c，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 slope times x，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 lower plus offset，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample4 index times width，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term3，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 value times cell width，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 affine value plus c，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 slope times x，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 lower plus offset，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample3 index times width，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term2，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 value times cell width，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 affine value plus c，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 slope times x，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 lower plus offset，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample2 index times width，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term1，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 value times cell width，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 affine value plus c，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 slope times x，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 lower plus offset，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample1 index times width，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL accumulated term0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 value times cell width，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 affine value plus c，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 slope times x，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 lower plus offset，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL sample0 index times width，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL width over positive cell count，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Left sum ORIGINAL upper minus lower endpoint，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、欄位角色、型別、論域及本步前提反向代回核對；不表示結論能唯一還原前提。來源綁定候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

-155/2

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。