第 3662 題：多項式的二階點導數

原題與已知條件

全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[-1, 3, 12, 1]，求 f″(-1)，採最簡正分母分數。

• G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。升冪係數 f=[-1, 3, 12, 1]，求 f″(-1)，採最簡正分母分數。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-derivative-rules

逐步推導

f ascending coefficients=[-1, 3, 12, 1]

real polynomials are differentiable;use coefficient identities

f′ coefficient at degree0 := mul(1, 3)

f′ coefficient at degree0 = 3

f′ coefficient at degree1 := mul(2, 12)

f′ coefficient at degree1 = 24

f′ coefficient at degree2 := mul(3, 1)

f′ coefficient at degree2 = 3

f″ coefficient at degree0 := mul(1, 24)

f″ coefficient at degree0 = 24

f″ coefficient at degree1 := mul(2, 3)

f″ coefficient at degree1 = 6

f″(x) ascending coefficients=[24, 6]

evaluate at x=-1

f″(x) Horner multiply before degree0 := mul(6, -1)

f″(x) Horner multiply before degree0 = -6

f″(x) Horner add degree0 := sum(-6, 24)

f″(x) Horner add degree0 = 18

first coefficients=[3, 24, 3];second=[24, 6]

f″(-1)=18

逐步反向核對

• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f″(x) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f″(x) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f″ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f″ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f′ coefficient at degree0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

18/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。