第 3862 題：精確矩積分減左端有限和

原題與已知條件

全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=-12x+(-1)，其升冪係數=[-1, -12]；a=1、b=7，N=12等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。

• G001 — 全實數論域；升冪係數的受限多項式模型。f(x)=-12x+(-1)，其升冪係數=[-1, -12]；a=1、b=7，N=12等份左端和S_N。求 I(a,b)−S_N。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-definite-integral

逐步推導

explicit real polynomial moment or constant integrand model

oriented I(a,b)=H(b)−H(a);do not sort endpoints

interval width := sub(7, 1)

interval width = 6

partition step := div(6, 12)

partition step = 1/2

left sample0 offset := mul(0, 1/2)

left sample0 offset = 0

left sample0 x := sum(1, 0)

left sample0 x = 1

left sample0 mx := mul(-12, 1)

left sample0 mx = -12

left sample0 value := sum(-12, -1)

left sample0 value = -13

left sample0 rectangle := mul(-13, 1/2)

left sample0 rectangle = -13/2

[1, -13, -13/2]

finite left-sum term index=0

left sample1 offset := mul(1, 1/2)

left sample1 offset = 1/2

left sample1 x := sum(1, 1/2)

left sample1 x = 3/2

left sample1 mx := mul(-12, 3/2)

left sample1 mx = -18

left sample1 value := sum(-18, -1)

left sample1 value = -19

left sample1 rectangle := mul(-19, 1/2)

left sample1 rectangle = -19/2

[3/2, -19, -19/2]

finite left-sum term index=1

left sample2 offset := mul(2, 1/2)

left sample2 offset = 1

left sample2 x := sum(1, 1)

left sample2 x = 2

left sample2 mx := mul(-12, 2)

left sample2 mx = -24

left sample2 value := sum(-24, -1)

left sample2 value = -25

left sample2 rectangle := mul(-25, 1/2)

left sample2 rectangle = -25/2

[2, -25, -25/2]

finite left-sum term index=2

left sample3 offset := mul(3, 1/2)

left sample3 offset = 3/2

left sample3 x := sum(1, 3/2)

left sample3 x = 5/2

left sample3 mx := mul(-12, 5/2)

left sample3 mx = -30

left sample3 value := sum(-30, -1)

left sample3 value = -31

left sample3 rectangle := mul(-31, 1/2)

left sample3 rectangle = -31/2

[5/2, -31, -31/2]

finite left-sum term index=3

left sample4 offset := mul(4, 1/2)

left sample4 offset = 2

left sample4 x := sum(1, 2)

left sample4 x = 3

left sample4 mx := mul(-12, 3)

left sample4 mx = -36

left sample4 value := sum(-36, -1)

left sample4 value = -37

left sample4 rectangle := mul(-37, 1/2)

left sample4 rectangle = -37/2

[3, -37, -37/2]

finite left-sum term index=4

left sample5 offset := mul(5, 1/2)

left sample5 offset = 5/2

left sample5 x := sum(1, 5/2)

left sample5 x = 7/2

left sample5 mx := mul(-12, 7/2)

left sample5 mx = -42

left sample5 value := sum(-42, -1)

left sample5 value = -43

left sample5 rectangle := mul(-43, 1/2)

left sample5 rectangle = -43/2

[7/2, -43, -43/2]

finite left-sum term index=5

left sample6 offset := mul(6, 1/2)

left sample6 offset = 3

left sample6 x := sum(1, 3)

left sample6 x = 4

left sample6 mx := mul(-12, 4)

left sample6 mx = -48

left sample6 value := sum(-48, -1)

left sample6 value = -49

left sample6 rectangle := mul(-49, 1/2)

left sample6 rectangle = -49/2

[4, -49, -49/2]

finite left-sum term index=6

left sample7 offset := mul(7, 1/2)

left sample7 offset = 7/2

left sample7 x := sum(1, 7/2)

left sample7 x = 9/2

left sample7 mx := mul(-12, 9/2)

left sample7 mx = -54

left sample7 value := sum(-54, -1)

left sample7 value = -55

left sample7 rectangle := mul(-55, 1/2)

left sample7 rectangle = -55/2

[9/2, -55, -55/2]

finite left-sum term index=7

left sample8 offset := mul(8, 1/2)

left sample8 offset = 4

left sample8 x := sum(1, 4)

left sample8 x = 5

left sample8 mx := mul(-12, 5)

left sample8 mx = -60

left sample8 value := sum(-60, -1)

left sample8 value = -61

left sample8 rectangle := mul(-61, 1/2)

left sample8 rectangle = -61/2

[5, -61, -61/2]

finite left-sum term index=8

left sample9 offset := mul(9, 1/2)

left sample9 offset = 9/2

left sample9 x := sum(1, 9/2)

left sample9 x = 11/2

left sample9 mx := mul(-12, 11/2)

left sample9 mx = -66

left sample9 value := sum(-66, -1)

left sample9 value = -67

left sample9 rectangle := mul(-67, 1/2)

left sample9 rectangle = -67/2

[11/2, -67, -67/2]

finite left-sum term index=9

left sample10 offset := mul(10, 1/2)

left sample10 offset = 5

left sample10 x := sum(1, 5)

left sample10 x = 6

left sample10 mx := mul(-12, 6)

left sample10 mx = -72

left sample10 value := sum(-72, -1)

left sample10 value = -73

left sample10 rectangle := mul(-73, 1/2)

left sample10 rectangle = -73/2

[6, -73, -73/2]

finite left-sum term index=10

left sample11 offset := mul(11, 1/2)

left sample11 offset = 11/2

left sample11 x := sum(1, 11/2)

left sample11 x = 13/2

left sample11 mx := mul(-12, 13/2)

left sample11 mx = -78

left sample11 value := sum(-78, -1)

left sample11 value = -79

left sample11 rectangle := mul(-79, 1/2)

left sample11 rectangle = -79/2

[13/2, -79, -79/2]

finite left-sum term index=11

finite left sum := sum(-13/2, -19/2, -25/2, -31/2, -37/2, -43/2, -49/2, -55/2, -61/2, -67/2, -73/2, -79/2)

finite left sum = -276

affine integral primitive coefficient1 := div(-1, 1)

affine integral primitive coefficient1 = -1

affine integral primitive coefficient2 := div(-12, 2)

affine integral primitive coefficient2 = -6

[0, -1, -6]

H′=the supplied polynomial;integrate from 1 to 7

affine integral H(b) ascending coefficients=[0, -1, -6]

evaluate at x=7

affine integral H(b) Horner multiply before degree1 := mul(-6, 7)

affine integral H(b) Horner multiply before degree1 = -42

affine integral H(b) Horner add degree1 := sum(-42, -1)

affine integral H(b) Horner add degree1 = -43

affine integral H(b) Horner multiply before degree0 := mul(-43, 7)

affine integral H(b) Horner multiply before degree0 = -301

affine integral H(b) Horner add degree0 := sum(-301, 0)

affine integral H(b) Horner add degree0 = -301

affine integral H(a) ascending coefficients=[0, -1, -6]

evaluate at x=1

affine integral H(a) Horner multiply before degree1 := mul(-6, 1)

affine integral H(a) Horner multiply before degree1 = -6

affine integral H(a) Horner add degree1 := sum(-6, -1)

affine integral H(a) Horner add degree1 = -7

affine integral H(a) Horner multiply before degree0 := mul(-7, 1)

affine integral H(a) Horner multiply before degree0 = -7

affine integral H(a) Horner add degree0 := sum(-7, 0)

affine integral H(a) Horner add degree0 = -7

affine integral oriented moment := sub(-301, -7)

affine integral oriented moment = -294

integral minus left sum := sub(-294, -276)

integral minus left sum = -18

I=-294;S_N=-276;N=12

signed finite-sum difference=-18

逐步反向核對

• S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 integral minus left sum，不以小數近似替代。
• S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral oriented moment，不以小數近似替代。
• S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(a) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree0，不以小數近似替代。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree0，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner add degree1，不以小數近似替代。
• S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral H(b) Horner multiply before degree1，不以小數近似替代。
• S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient2，不以小數近似替代。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine integral primitive coefficient1，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite left sum，不以小數近似替代。
• S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 rectangle，不以小數近似替代。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 value，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 mx，不以小數近似替代。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 x，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample11 offset，不以小數近似替代。
• S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 rectangle，不以小數近似替代。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 value，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 mx，不以小數近似替代。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 x，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample10 offset，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 rectangle，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 value，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 mx，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 x，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample9 offset，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 rectangle，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 value，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 mx，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 x，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample8 offset，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 rectangle，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 value，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 mx，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 x，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample7 offset，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 rectangle，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 value，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 mx，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 x，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample6 offset，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 rectangle，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 value，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 mx，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 x，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample5 offset，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 rectangle，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 value，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 mx，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 x，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample4 offset，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 rectangle，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 value，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 mx，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 x，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample3 offset，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 rectangle，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 value，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 mx，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 x，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample2 offset，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 rectangle，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 mx，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 x，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample1 offset，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 rectangle，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 mx，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 x，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left sample0 offset，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 partition step，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 interval width，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

-18/1

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。