第 4131 題：共模型的差期望

原題與已知條件

有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[6, 2, 1]、D=9，權重為質量/D；X值=[-5, 2, 6]、Y值=[1, -1, -5]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。求 E[X]−E[Y]，亦即 E[X−Y]。

• G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[6, 2, 1]、D=9，權重為質量/D；X值=[-5, 2, 6]、Y值=[1, -1, -5]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。求 E[X]−E[Y]，亦即 E[X−Y]。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-expectation

逐步推導

total mass numerator := sum(6, 2, 1)

total mass numerator = 9

indexed masses=[6, 2, 1];D=9

probabilities=[2/3, 2/9, 1/9]

X weighted numerator0 := mul(6, -5)

X weighted numerator0 = -30

X contribution0 := div(-30, 9)

X contribution0 = -10/3

X weighted numerator1 := mul(2, 2)

X weighted numerator1 = 4

X contribution1 := div(4, 9)

X contribution1 = 4/9

X weighted numerator2 := mul(1, 6)

X weighted numerator2 = 6

X contribution2 := div(6, 9)

X contribution2 = 2/3

X expectation := sum(-10/3, 4/9, 2/3)

X expectation = -20/9

Y weighted numerator0 := mul(6, 1)

Y weighted numerator0 = 6

Y contribution0 := div(6, 9)

Y contribution0 = 2/3

Y weighted numerator1 := mul(2, -1)

Y weighted numerator1 = -2

Y contribution1 := div(-2, 9)

Y contribution1 = -2/9

Y weighted numerator2 := mul(1, -5)

Y weighted numerator2 = -5

Y contribution2 := div(-5, 9)

Y contribution2 = -5/9

Y expectation := sum(2/3, -2/9, -5/9)

Y expectation = -1/9

difference of expectations := sub(-20/9, -1/9)

difference of expectations = -19/9

E[X]=-20/9;E[Y]=-1/9

E[X]−E[Y]=E[X−Y]=-19/9

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 difference of expectations，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y expectation，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator2，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X expectation，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator2，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。

結論

-19/9

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。