第 4148 題：共模型的差期望

原題與已知條件

有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[23, 2, 1]、D=26，權重為質量/D；X值=[-22, 2, 23]、Y值=[1, -1, -22]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。求 E[X]−E[Y]，亦即 E[X−Y]。

• G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[23, 2, 1]、D=26，權重為質量/D；X值=[-22, 2, 23]、Y值=[1, -1, -22]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。求 E[X]−E[Y]，亦即 E[X−Y]。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-expectation

逐步推導

total mass numerator := sum(23, 2, 1)

total mass numerator = 26

indexed masses=[23, 2, 1];D=26

probabilities=[23/26, 1/13, 1/26]

X weighted numerator0 := mul(23, -22)

X weighted numerator0 = -506

X contribution0 := div(-506, 26)

X contribution0 = -253/13

X weighted numerator1 := mul(2, 2)

X weighted numerator1 = 4

X contribution1 := div(4, 26)

X contribution1 = 2/13

X weighted numerator2 := mul(1, 23)

X weighted numerator2 = 23

X contribution2 := div(23, 26)

X contribution2 = 23/26

X expectation := sum(-253/13, 2/13, 23/26)

X expectation = -479/26

Y weighted numerator0 := mul(23, 1)

Y weighted numerator0 = 23

Y contribution0 := div(23, 26)

Y contribution0 = 23/26

Y weighted numerator1 := mul(2, -1)

Y weighted numerator1 = -2

Y contribution1 := div(-2, 26)

Y contribution1 = -1/13

Y weighted numerator2 := mul(1, -22)

Y weighted numerator2 = -22

Y contribution2 := div(-22, 26)

Y contribution2 = -11/13

Y expectation := sum(23/26, -1/13, -11/13)

Y expectation = -1/26

difference of expectations := sub(-479/26, -1/26)

difference of expectations = -239/13

E[X]=-479/26;E[Y]=-1/26

E[X]−E[Y]=E[X−Y]=-239/13

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 difference of expectations，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y expectation，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator2，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X expectation，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator2，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。

結論

-239/13

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。