第 4176 題：乘積期望與均值積的有序對

原題與已知條件

有限歸一化模型；S={0,…,1}，F=𝒫(S)，質量=[1, 1]、D=2，權重為質量/D；X值=[0, 1]、Y值=[0, 1]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。依序求 (E[XY], E[X]E[Y])。

• G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,1}，F=𝒫(S)，質量=[1, 1]、D=2，權重為質量/D；X值=[0, 1]、Y值=[0, 1]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。依序求 (E[XY], E[X]E[Y])。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-expectation

逐步推導

total mass numerator := sum(1, 1)

total mass numerator = 2

indexed masses=[1, 1];D=2

probabilities=[1/2, 1/2]

X weighted numerator0 := mul(1, 0)

X weighted numerator0 = 0

X contribution0 := div(0, 2)

X contribution0 = 0

X weighted numerator1 := mul(1, 1)

X weighted numerator1 = 1

X contribution1 := div(1, 2)

X contribution1 = 1/2

X expectation := sum(0, 1/2)

X expectation = 1/2

Y weighted numerator0 := mul(1, 0)

Y weighted numerator0 = 0

Y contribution0 := div(0, 2)

Y contribution0 = 0

Y weighted numerator1 := mul(1, 1)

Y weighted numerator1 = 1

Y contribution1 := div(1, 2)

Y contribution1 = 1/2

Y expectation := sum(0, 1/2)

Y expectation = 1/2

pointwise XY0 := mul(0, 0)

pointwise XY0 = 0

pointwise XY1 := mul(1, 1)

pointwise XY1 = 1

XY weighted numerator0 := mul(1, 0)

XY weighted numerator0 = 0

XY contribution0 := div(0, 2)

XY contribution0 = 0

XY weighted numerator1 := mul(1, 1)

XY weighted numerator1 = 1

XY contribution1 := div(1, 2)

XY contribution1 = 1/2

XY expectation := sum(0, 1/2)

XY expectation = 1/2

product of means := mul(1/2, 1/2)

product of means = 1/4

E[XY]=1/2;E[X]E[Y]=1/4

report in this order;no independence inferred

逐步反向核對

• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product of means，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY expectation，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY contribution1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY contribution0，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise XY1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise XY0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y expectation，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X expectation，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。

結論

(1/2, 1/4)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。