第 4183 題：乘積期望與均值積的有序對

原題與已知條件

有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[8, 2, 1]、D=11，權重為質量/D；X值=[-7, 2, 8]、Y值=[9, -1, 2]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。依序求 (E[XY], E[X]E[Y])。

• G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[8, 2, 1]、D=11，權重為質量/D；X值=[-7, 2, 8]、Y值=[9, -1, 2]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。依序求 (E[XY], E[X]E[Y])。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-expectation

逐步推導

total mass numerator := sum(8, 2, 1)

total mass numerator = 11

indexed masses=[8, 2, 1];D=11

probabilities=[8/11, 2/11, 1/11]

X weighted numerator0 := mul(8, -7)

X weighted numerator0 = -56

X contribution0 := div(-56, 11)

X contribution0 = -56/11

X weighted numerator1 := mul(2, 2)

X weighted numerator1 = 4

X contribution1 := div(4, 11)

X contribution1 = 4/11

X weighted numerator2 := mul(1, 8)

X weighted numerator2 = 8

X contribution2 := div(8, 11)

X contribution2 = 8/11

X expectation := sum(-56/11, 4/11, 8/11)

X expectation = -4

Y weighted numerator0 := mul(8, 9)

Y weighted numerator0 = 72

Y contribution0 := div(72, 11)

Y contribution0 = 72/11

Y weighted numerator1 := mul(2, -1)

Y weighted numerator1 = -2

Y contribution1 := div(-2, 11)

Y contribution1 = -2/11

Y weighted numerator2 := mul(1, 2)

Y weighted numerator2 = 2

Y contribution2 := div(2, 11)

Y contribution2 = 2/11

Y expectation := sum(72/11, -2/11, 2/11)

Y expectation = 72/11

pointwise XY0 := mul(-7, 9)

pointwise XY0 = -63

pointwise XY1 := mul(2, -1)

pointwise XY1 = -2

pointwise XY2 := mul(8, 2)

pointwise XY2 = 16

XY weighted numerator0 := mul(8, -63)

XY weighted numerator0 = -504

XY contribution0 := div(-504, 11)

XY contribution0 = -504/11

XY weighted numerator1 := mul(2, -2)

XY weighted numerator1 = -4

XY contribution1 := div(-4, 11)

XY contribution1 = -4/11

XY weighted numerator2 := mul(1, 16)

XY weighted numerator2 = 16

XY contribution2 := div(16, 11)

XY contribution2 = 16/11

XY expectation := sum(-504/11, -4/11, 16/11)

XY expectation = -492/11

product of means := mul(-4, 72/11)

product of means = -288/11

E[XY]=-492/11;E[X]E[Y]=-288/11

report in this order;no independence inferred

逐步反向核對

• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product of means，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY expectation，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY contribution2，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY weighted numerator2，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY contribution1，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY contribution0，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise XY2，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise XY1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise XY0，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y expectation，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator2，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X expectation，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator2，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。

結論

(-492/11, -288/11)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。