第 4200 題：乘積期望與均值積的有序對

原題與已知條件

有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[25, 2, 1]、D=28，權重為質量/D；X值=[-24, 2, 25]、Y值=[26, -1, 2]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。依序求 (E[XY], E[X]E[Y])。

• G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[25, 2, 1]、D=28，權重為質量/D；X值=[-24, 2, 25]、Y值=[26, -1, 2]，X與Y共用S和權重，不假設獨立。依序求 (E[XY], E[X]E[Y])。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-expectation

逐步推導

total mass numerator := sum(25, 2, 1)

total mass numerator = 28

indexed masses=[25, 2, 1];D=28

probabilities=[25/28, 1/14, 1/28]

X weighted numerator0 := mul(25, -24)

X weighted numerator0 = -600

X contribution0 := div(-600, 28)

X contribution0 = -150/7

X weighted numerator1 := mul(2, 2)

X weighted numerator1 = 4

X contribution1 := div(4, 28)

X contribution1 = 1/7

X weighted numerator2 := mul(1, 25)

X weighted numerator2 = 25

X contribution2 := div(25, 28)

X contribution2 = 25/28

X expectation := sum(-150/7, 1/7, 25/28)

X expectation = -571/28

Y weighted numerator0 := mul(25, 26)

Y weighted numerator0 = 650

Y contribution0 := div(650, 28)

Y contribution0 = 325/14

Y weighted numerator1 := mul(2, -1)

Y weighted numerator1 = -2

Y contribution1 := div(-2, 28)

Y contribution1 = -1/14

Y weighted numerator2 := mul(1, 2)

Y weighted numerator2 = 2

Y contribution2 := div(2, 28)

Y contribution2 = 1/14

Y expectation := sum(325/14, -1/14, 1/14)

Y expectation = 325/14

pointwise XY0 := mul(-24, 26)

pointwise XY0 = -624

pointwise XY1 := mul(2, -1)

pointwise XY1 = -2

pointwise XY2 := mul(25, 2)

pointwise XY2 = 50

XY weighted numerator0 := mul(25, -624)

XY weighted numerator0 = -15600

XY contribution0 := div(-15600, 28)

XY contribution0 = -3900/7

XY weighted numerator1 := mul(2, -2)

XY weighted numerator1 = -4

XY contribution1 := div(-4, 28)

XY contribution1 = -1/7

XY weighted numerator2 := mul(1, 50)

XY weighted numerator2 = 50

XY contribution2 := div(50, 28)

XY contribution2 = 25/14

XY expectation := sum(-3900/7, -1/7, 25/14)

XY expectation = -1111/2

product of means := mul(-571/28, 325/14)

product of means = -185575/392

E[XY]=-1111/2;E[X]E[Y]=-185575/392

report in this order;no independence inferred

逐步反向核對

• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product of means，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY expectation，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY contribution2，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY weighted numerator2，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY contribution1，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY contribution0，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 XY weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise XY2，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise XY1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 pointwise XY0，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y expectation，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator2，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y contribution0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X expectation，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator2，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X contribution0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X weighted numerator0，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total mass numerator，不以小數近似替代。

結論

(-1111/2, -185575/392)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。