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第 7431 題：附加輸出的陪域資格

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0013-07431 · q-20261012-advance-20261016-r06-injective-0056

原題與已知條件

Fin型別從0起，完整總表；Fin(8)=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]→Fin(8)=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]，images=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]。在新輸入標籤n附加候選value=7。求 (原images, 新值陪域資格, 新images或不合陪域, 新碰撞或不求值, 新單射資格或不求值)。合格附加可使新域有9標籤。

  • G001 — Fin型別從0起，完整總表；Fin(8)=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]→Fin(8)=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]，images=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]。在新輸入標籤n附加候選value=7。求 (原images, 新值陪域資格, 新images或不合陪域, 新碰撞或不求值, 新單射資格或不求值)。合格附加可使新域有9標籤。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source index=0∈Fin(8)

操作後

image[0]=0∈Fin(8)

條件：無

完整原表的每格都先合型，不只核對稍後會查詢的格。

步驟識別與依賴

規則：injective_complete_original_table_row · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source index=1∈Fin(8)

操作後

image[1]=1∈Fin(8)

條件：無

完整原表的每格都先合型，不只核對稍後會查詢的格。

步驟識別與依賴

規則：injective_complete_original_table_row · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source index=2∈Fin(8)

操作後

image[2]=2∈Fin(8)

條件：無

完整原表的每格都先合型，不只核對稍後會查詢的格。

步驟識別與依賴

規則：injective_complete_original_table_row · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source index=3∈Fin(8)

操作後

image[3]=3∈Fin(8)

條件：無

完整原表的每格都先合型，不只核對稍後會查詢的格。

步驟識別與依賴

規則：injective_complete_original_table_row · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source index=4∈Fin(8)

操作後

image[4]=4∈Fin(8)

條件：無

完整原表的每格都先合型，不只核對稍後會查詢的格。

步驟識別與依賴

規則：injective_complete_original_table_row · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source index=5∈Fin(8)

操作後

image[5]=5∈Fin(8)

條件：無

完整原表的每格都先合型，不只核對稍後會查詢的格。

步驟識別與依賴

規則：injective_complete_original_table_row · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source index=6∈Fin(8)

操作後

image[6]=6∈Fin(8)

條件：無

完整原表的每格都先合型，不只核對稍後會查詢的格。

步驟識別與依賴

規則：injective_complete_original_table_row · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source index=7∈Fin(8)

操作後

image[7]=7∈Fin(8)

條件：無

完整原表的每格都先合型，不只核對稍後會查詢的格。

步驟識別與依賴

規則：injective_complete_original_table_row · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

Fin(8)→Fin(8);original images=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

操作後

injectivity forbids equal outputs from distinct original input labels

條件：無

單射只禁止不同輸入同輸出；空函數可空真，不能混同滿射。所有原表格先合法，後續限制或刪除保留原始標籤。

步驟識別與依賴

規則：finite_injectivity_label_scope · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

append candidate value=7;old codomain Fin(8)

操作後

qualified=是

條件：無

先要求新值落在原陪域；不合陪域時不造新表，也不把未求值的單射性填成假。

步驟識別與依賴

規則：append_output_codomain_guard · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(0,1);outputs=(0,1)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(0,2);outputs=(0,2)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(0,3);outputs=(0,3)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(0,4);outputs=(0,4)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(0,5);outputs=(0,5)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(0,6);outputs=(0,6)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(0,7);outputs=(0,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(0,8);outputs=(0,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(1,2);outputs=(1,2)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(1,3);outputs=(1,3)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(1,4);outputs=(1,4)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(1,5);outputs=(1,5)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(1,6);outputs=(1,6)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(1,7);outputs=(1,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(1,8);outputs=(1,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(2,3);outputs=(2,3)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(2,4);outputs=(2,4)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(2,5);outputs=(2,5)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(2,6);outputs=(2,6)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(2,7);outputs=(2,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(2,8);outputs=(2,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(3,4);outputs=(3,4)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(3,5);outputs=(3,5)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(3,6);outputs=(3,6)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(3,7);outputs=(3,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(3,8);outputs=(3,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(4,5);outputs=(4,5)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(4,6);outputs=(4,6)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(4,7);outputs=(4,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(4,8);outputs=(4,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(5,6);outputs=(5,6)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(5,7);outputs=(5,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(5,8);outputs=(5,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(6,7);outputs=(6,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(6,8);outputs=(6,7)

操作後

collision=否

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

phase=appended;inputs=(7,8);outputs=(7,7)

操作後

collision=是

條件：無

每一對不同原標籤只查一次；輸出值相同時兩個輸入仍不同，不能去重輸出而抹掉碰撞。

步驟識別與依賴

規則：injective_collision_pair_audit · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

phase=appended;all input labels=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

操作後

collisions=[[7, 8]];injective=否

條件：無

完整比較全部x<y對後，碰撞列空當且僅當此有限限制單射；0或1個輸入時沒有不同輸入對。

步驟識別與依賴

規則：complete_pairwise_collision_inventory · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

original n=8;new input label=8;new table=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7]

操作後

new domain has 9 labels;codomain m=8

條件：無

合法附加可把8個原輸入擴為9個新域標籤；這是導出表，不重新把新域套回原n≤8輸入切片，也不擴大陪域。

步驟識別與依賴

規則：derived_appended_domain_size · 依賴：G001, S047

逐步反向核對

  • S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], 是, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7], [[7, 8]], 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 56613c764efc3d619cd7b70d2c907e2ea0eb22b7b37ebe3cdc56cf3007c3591a
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  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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