R0017-09207 · q-20261013-advance-20261018-r01-topological-space-0007
有限底集合完整資料。操作=topology-axiom-audit；資料={"n":4,"opens":[[],[2],[1,2],[0,1,2],[3],[0,1,2,3]]}。請依 [n,opens,empty,full,union_closed,intersection_closed,topology,union_counterexample,intersection_counterexample] 的欄序回答。
G001 — 有限底集合完整資料。操作=topology-axiom-audit；資料={"n":4,"opens":[[],[2],[1,2],[0,1,2],[3],[0,1,2,3]]}。請依 [n,opens,empty,full,union_closed,intersection_closed,topology,union_counterexample,intersection_counterexample] 的欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
space=given;n=4;raw family=[[], [2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 1, 2, 3]]
操作後
universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 1, 2, 3]]
條件：無
每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。
規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001
操作前
space=given;canonical family=[[], [2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 1, 2, 3]]
操作後
self pairs are idempotent;unordered distinct pairs cover all ordered pairs
條件：無
A∪A=A、A∩A=A自動在候選族；聯集與交集可交換，因此列全部不同無序對即可完整核所有有序對，不是抽樣。
規則：binary_set_operation_symmetry_coverage · 依賴：G001, S001
操作前
space=given;A=[];B=[2]
操作後
union=[2];in family=是;intersection=[];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S002
操作前
space=given;A=[];B=[1, 2]
操作後
union=[1, 2];in family=是;intersection=[];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S003
操作前
space=given;A=[];B=[0, 1, 2]
操作後
union=[0, 1, 2];in family=是;intersection=[];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S004
操作前
space=given;A=[];B=[3]
操作後
union=[3];in family=是;intersection=[];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S005
操作前
space=given;A=[];B=[0, 1, 2, 3]
操作後
union=[0, 1, 2, 3];in family=是;intersection=[];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S006
操作前
space=given;A=[2];B=[1, 2]
操作後
union=[1, 2];in family=是;intersection=[2];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S007
操作前
space=given;A=[2];B=[0, 1, 2]
操作後
union=[0, 1, 2];in family=是;intersection=[2];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S008
操作前
space=given;A=[2];B=[3]
操作後
union=[2, 3];in family=否;intersection=[];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S009
操作前
space=given;A=[2];B=[0, 1, 2, 3]
操作後
union=[0, 1, 2, 3];in family=是;intersection=[2];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S010
操作前
space=given;A=[1, 2];B=[0, 1, 2]
操作後
union=[0, 1, 2];in family=是;intersection=[1, 2];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S011
操作前
space=given;A=[1, 2];B=[3]
操作後
union=[1, 2, 3];in family=否;intersection=[];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S012
操作前
space=given;A=[1, 2];B=[0, 1, 2, 3]
操作後
union=[0, 1, 2, 3];in family=是;intersection=[1, 2];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S013
操作前
space=given;A=[0, 1, 2];B=[3]
操作後
union=[0, 1, 2, 3];in family=是;intersection=[];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S014
操作前
space=given;A=[0, 1, 2];B=[0, 1, 2, 3]
操作後
union=[0, 1, 2, 3];in family=是;intersection=[0, 1, 2];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S015
操作前
space=given;A=[3];B=[0, 1, 2, 3]
操作後
union=[0, 1, 2, 3];in family=是;intersection=[3];in family=是
條件：無
依集合定義逐一求聯集與交集，分別查是否仍在原族；保留首次反例的原兩集合與實際結果。
規則：finite_topology_complete_binary_pair · 依賴：G001, S016
操作前
space=given;empty=是;full=是;union closed=否;intersection closed=是
操作後
topology=否;first union failure=[[2], [3], [2, 3]];first intersection failure=無
條件：無
四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。
規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S017
S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(4, [[], [2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 1, 2, 3]], 是, 是, 否, 是, 否, [[2], [3], [2, 3]], 無)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: ec4b7daf9d2846451a28176320a393d072f9d9c64e0148f5853e98077426f91acandidate record SHA-256: d04c59497ac38856685ee5f0b16d17497fc5e9181aaa362d285163f8db2566f8semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED