R0017-09300 · q-20261013-advance-20261018-r01-topological-space-0050
有限底集合完整資料。操作=topology-open-closed-inventory；資料={"n":3,"opens":[[],[0],[0,1],[0,1,2]]}。請依 [n,opens,closed,clopen] 的欄序回答。
G001 — 有限底集合完整資料。操作=topology-open-closed-inventory；資料={"n":3,"opens":[[],[0],[0,1],[0,1,2]]}。請依 [n,opens,closed,clopen] 的欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
space=given;n=3;raw family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2]]
操作後
universe=[0, 1, 2];canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2]]
條件：無
每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。
規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001
操作前
space=given;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是
操作後
topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無
條件：無
四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。
規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S001
操作前
universe Fin(3);open=[]
操作後
relative complement=[0, 1, 2];closed=是
條件：無
閉集由同一底集合中開集的補集得到，不是用『不是開集』作定義。
規則：closed_as_relative_complement_of_open · 依賴：G001, S002
操作前
universe Fin(3);open=[0]
操作後
relative complement=[1, 2];closed=是
條件：無
閉集由同一底集合中開集的補集得到，不是用『不是開集』作定義。
規則：closed_as_relative_complement_of_open · 依賴：G001, S003
操作前
universe Fin(3);open=[0, 1]
操作後
relative complement=[2];closed=是
條件：無
閉集由同一底集合中開集的補集得到，不是用『不是開集』作定義。
規則：closed_as_relative_complement_of_open · 依賴：G001, S004
操作前
universe Fin(3);open=[0, 1, 2]
操作後
relative complement=[];closed=是
條件：無
閉集由同一底集合中開集的補集得到，不是用『不是開集』作定義。
規則：closed_as_relative_complement_of_open · 依賴：G001, S005
操作前
opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2]];closed sets=[[], [2], [1, 2], [0, 1, 2]]
操作後
clopen sets=[[], [0, 1, 2]]
條件：無
同時在兩個族的集合才同時開閉；空集與全集都在，其他集合也可能同時開閉。
規則：clopen_intersection_of_properties · 依賴：G001, S006
S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(3, [[], [0], [0, 1], [0, 1, 2]], [[], [2], [1, 2], [0, 1, 2]], [[], [0, 1, 2]])
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: ad259f4ae041721b03bcd46059e9c85883134970152707a02d1ad31b70595fa3candidate record SHA-256: 0e7da09060edf4e57c79ea944c3b4f60b4f5e755405dc287a842402740d999e3semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED