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第 9275 題：有限拓撲完整核對

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 47

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R0017-09275 · q-20261013-advance-20261018-r01-topological-space-0100

原題與已知條件

有限底集合完整資料。操作=topology-finer-coarser；資料={"n":4,"opens_a":[[],[0],[0,1],[0,1,2],[0,1,2,3]],"opens_b":[[],[0],[1],[0,1],[2],[0,2],[1,2],[0,1,2],[3],[0,3],[1,3],[0,1,3],[2,3],[0,2,3],[1,2,3],[0,1,2,3]]}。請依 [n,opens_A,opens_B,A_subset_B,B_subset_A,relation] 的欄序回答。

  • G001 — 有限底集合完整資料。操作=topology-finer-coarser；資料={"n":4,"opens_a":[[],[0],[0,1],[0,1,2],[0,1,2,3]],"opens_b":[[],[0],[1],[0,1],[2],[0,2],[1,2],[0,1,2],[3],[0,3],[1,3],[0,1,3],[2,3],[0,2,3],[1,2,3],[0,1,2,3]]}。請依 [n,opens_A,opens_B,A_subset_B,B_subset_A,relation] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

space=A;n=4;raw family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

條件：無

每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。

步驟識別與依賴

規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

space=A;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是

操作後

topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無

條件：無

四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。

步驟識別與依賴

規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

space=B;n=4;raw family=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]

操作後

universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]

條件：無

每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。

步驟識別與依賴

規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

space=B;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是

操作後

topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無

條件：無

四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。

步驟識別與依賴

規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

direction=A in B;open member=[];other family=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=是

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

direction=A in B;open member=[0];other family=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=是

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

direction=A in B;open member=[0, 1];other family=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=是

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

direction=A in B;open member=[0, 1, 2];other family=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=是

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

direction=A in B;open member=[0, 1, 2, 3];other family=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=是

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=是

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[0];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=是

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[1];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=否

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[0, 1];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=是

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[2];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=否

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[0, 2];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=否

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[1, 2];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=否

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[0, 1, 2];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=是

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[3];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=否

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[0, 3];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=否

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[1, 3];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=否

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[0, 1, 3];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=否

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[2, 3];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=否

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[0, 2, 3];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=否

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[1, 2, 3];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=否

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

direction=B in A;open member=[0, 1, 2, 3];other family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]

操作後

member included=是

條件：無

比較的是每個開集是否也在另一開集族，不是比較兩個底集合大小；底集合在本題固定相同。

步驟識別與依賴

規則：topology_open_family_inclusion_member · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

A subset B=是;B subset A=否

操作後

topology relation=A較粗

條件：無

A的每個開集都在B時，B較細而A較粗；兩方向皆真為相等，皆假為不可比。

步驟識別與依賴

規則：finer_coarser_direction · 依賴：G001, S025

逐步反向核對

  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(4, [[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]], [[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]], 是, 否, A較粗)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: bb9c2856742b4d4aec5a370529d4f1dae2f85ed05fecbb3a6f3a17472a9bd9d4
  • candidate record SHA-256: f7b096e4a47bbe1fc4a0946a0de2004c867716d0c84eabf934f21d98aff2152e
  • semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8
  • question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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