R0018-09811 · q-20261013-advance-20261019-r01-open-closed-set-0061
完整有限拓撲。操作=openclosed-clopen-inventory；資料={"n":4,"opens":[[],[2],[2,3],[0,2,3],[0,1,2,3]]}。請依 [n,opens,closed,clopen] 欄序回答。
G001 — 完整有限拓撲。操作=openclosed-clopen-inventory；資料={"n":4,"opens":[[],[2],[2,3],[0,2,3],[0,1,2,3]]}。請依 [n,opens,closed,clopen] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
n=4;raw open family=[[], [2], [2, 3], [0, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]
操作後
universe=[0, 1, 2, 3];normalized opens=[[], [2], [2, 3], [0, 2, 3], [0, 1, 2, 3]];empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是
條件：無
子集與族去重後按mask排序，完整核空集、全集及二元聯交閉合。有限底集合使任意聯集只需有限不同成員；本題要求真拓撲，非法資料不拿來算後續性質。
規則：given_complete_finite_topology_guard · 依賴：G001
操作前
universe=[0, 1, 2, 3];open=[]
操作後
closed relative complement=[0, 1, 2, 3]
條件：無
每個開集在同一底集合取補集，收集全部閉集再按mask排序；不是把非開集列成閉集。
規則：complete_closed_family_by_complements · 依賴：G001, S001
操作前
universe=[0, 1, 2, 3];open=[2]
操作後
closed relative complement=[0, 1, 3]
條件：無
每個開集在同一底集合取補集，收集全部閉集再按mask排序；不是把非開集列成閉集。
規則：complete_closed_family_by_complements · 依賴：G001, S002
操作前
universe=[0, 1, 2, 3];open=[2, 3]
操作後
closed relative complement=[0, 1]
條件：無
每個開集在同一底集合取補集，收集全部閉集再按mask排序；不是把非開集列成閉集。
規則：complete_closed_family_by_complements · 依賴：G001, S003
操作前
universe=[0, 1, 2, 3];open=[0, 2, 3]
操作後
closed relative complement=[1]
條件：無
每個開集在同一底集合取補集，收集全部閉集再按mask排序；不是把非開集列成閉集。
規則：complete_closed_family_by_complements · 依賴：G001, S004
操作前
universe=[0, 1, 2, 3];open=[0, 1, 2, 3]
操作後
closed relative complement=[]
條件：無
每個開集在同一底集合取補集，收集全部閉集再按mask排序；不是把非開集列成閉集。
規則：complete_closed_family_by_complements · 依賴：G001, S005
操作前
all opens=[[], [2], [2, 3], [0, 2, 3], [0, 1, 2, 3]];all closed=[[], [1], [0, 1], [0, 1, 3], [0, 1, 2, 3]]
操作後
all clopen=[[], [0, 1, 2, 3]]
條件：無
同時在兩個族才是clopen；全資料核對保留空集與全集的兩重資格。
規則：all_clopen_membership_intersection · 依賴：G001, S006
S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(4, [[], [2], [2, 3], [0, 2, 3], [0, 1, 2, 3]], [[], [1], [0, 1], [0, 1, 3], [0, 1, 2, 3]], [[], [0, 1, 2, 3]])
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 793cd660ed8eaa29cd87fef18ab9f158411381c79aecba932186bc7f57267eefcandidate record SHA-256: f095c777cb394a6e56015389d6854c4461861860dffc2660c6092fa91318a18dsemantic review receipt SHA-256: bd35da62087a15d6b89b45585dc46e89b9efbe097cba7b3c707b5030496f013cquestion-first witness SHA-256: fab45a10d8ac95c7d61d32e47d1bdd3ca862c17c3289a6bf4b01d4dc9492fbb6Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED