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第 9825 題：開閉集有限核對

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0018-09825 · q-20261013-advance-20261019-r01-open-closed-set-0075

原題與已知條件

完整有限拓撲。操作=openclosed-clopen-inventory；資料={"n":3,"opens":[[],[0],[0,1],[0,1,2]]}。請依 [n,opens,closed,clopen] 欄序回答。

  • G001 — 完整有限拓撲。操作=openclosed-clopen-inventory；資料={"n":3,"opens":[[],[0],[0,1],[0,1,2]]}。請依 [n,opens,closed,clopen] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

n=3;raw open family=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2]]

操作後

universe=[0, 1, 2];normalized opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2]];empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是

條件：無

子集與族去重後按mask排序，完整核空集、全集及二元聯交閉合。有限底集合使任意聯集只需有限不同成員；本題要求真拓撲，非法資料不拿來算後續性質。

步驟識別與依賴

規則：given_complete_finite_topology_guard · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

universe=[0, 1, 2];open=[]

操作後

closed relative complement=[0, 1, 2]

條件：無

每個開集在同一底集合取補集，收集全部閉集再按mask排序；不是把非開集列成閉集。

步驟識別與依賴

規則：complete_closed_family_by_complements · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

universe=[0, 1, 2];open=[0]

操作後

closed relative complement=[1, 2]

條件：無

每個開集在同一底集合取補集，收集全部閉集再按mask排序；不是把非開集列成閉集。

步驟識別與依賴

規則：complete_closed_family_by_complements · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

universe=[0, 1, 2];open=[0, 1]

操作後

closed relative complement=[2]

條件：無

每個開集在同一底集合取補集，收集全部閉集再按mask排序；不是把非開集列成閉集。

步驟識別與依賴

規則：complete_closed_family_by_complements · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

universe=[0, 1, 2];open=[0, 1, 2]

操作後

closed relative complement=[]

條件：無

每個開集在同一底集合取補集，收集全部閉集再按mask排序；不是把非開集列成閉集。

步驟識別與依賴

規則：complete_closed_family_by_complements · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

all opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2]];all closed=[[], [2], [1, 2], [0, 1, 2]]

操作後

all clopen=[[], [0, 1, 2]]

條件：無

同時在兩個族才是clopen；全資料核對保留空集與全集的兩重資格。

步驟識別與依賴

規則：all_clopen_membership_intersection · 依賴：G001, S005

逐步反向核對

  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(3, [[], [0], [0, 1], [0, 1, 2]], [[], [2], [1, 2], [0, 1, 2]], [[], [0, 1, 2]])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 6a9643a5108688184e7edda7f3d5db7c8973ade0733ff4ae543d221c0a28b54d
  • candidate record SHA-256: 7d89260cffe211dd4178d730b855720af6968cf2bf906354758377860043309b
  • semantic review receipt SHA-256: bd35da62087a15d6b89b45585dc46e89b9efbe097cba7b3c707b5030496f013c
  • question-first witness SHA-256: fab45a10d8ac95c7d61d32e47d1bdd3ca862c17c3289a6bf4b01d4dc9492fbb6
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
同源完整 JSON