R0018-09867 · q-20261013-advance-20261019-r01-open-closed-set-0092
完整有限拓撲。操作=openclosed-family-closure；資料={"n":4,"opens":[[],[0],[0,2],[0,2,3],[0,1,2,3]],"subsets":[[],[0,2],[0,1,2,3]],"mode":"open_union"}。請依 [n,mode,selected,all_qualified,result,result_qualified] 欄序回答。
G001 — 完整有限拓撲。操作=openclosed-family-closure；資料={"n":4,"opens":[[],[0],[0,2],[0,2,3],[0,1,2,3]],"subsets":[[],[0,2],[0,1,2,3]],"mode":"open_union"}。請依 [n,mode,selected,all_qualified,result,result_qualified] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
n=4;raw open family=[[], [0], [0, 2], [0, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]
操作後
universe=[0, 1, 2, 3];normalized opens=[[], [0], [0, 2], [0, 2, 3], [0, 1, 2, 3]];empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是
條件：無
子集與族去重後按mask排序，完整核空集、全集及二元聯交閉合。有限底集合使任意聯集只需有限不同成員；本題要求真拓撲，非法資料不拿來算後續性質。
規則：given_complete_finite_topology_guard · 依賴：G001
操作前
mode=open_union;selected member=[]
操作後
required property qualified=是
條件：無
每個選定集合先依模式分別核開或閉；只保留真假，不因有一個失格就停止求聯交結果。
規則：closure_each_selected_property · 依賴：G001, S001
操作前
mode=open_union;selected member=[0, 2]
操作後
required property qualified=是
條件：無
每個選定集合先依模式分別核開或閉；只保留真假，不因有一個失格就停止求聯交結果。
規則：closure_each_selected_property · 依賴：G001, S002
操作前
mode=open_union;selected member=[0, 1, 2, 3]
操作後
required property qualified=是
條件：無
每個選定集合先依模式分別核開或閉；只保留真假，不因有一個失格就停止求聯交結果。
規則：closure_each_selected_property · 依賴：G001, S003
操作前
mode=open_union;selected normalized family=[[], [0, 2], [0, 1, 2, 3]]
操作後
initial accumulator=[]
條件：無
空聯集是空集，空交集是同一全集；先定此單位元，才依序折疊選定集合。空選定族的all-qualified為真。
規則：empty_union_intersection_identity · 依賴：G001, S004
操作前
mode=open_union;accumulator=[];next member=[]
操作後
next accumulator=[]
條件：無
只按指定聯集／交集運算更新，原集合及模式不被偷偷替換。
規則：complete_selected_family_set_fold · 依賴：G001, S005
操作前
mode=open_union;accumulator=[];next member=[0, 2]
操作後
next accumulator=[0, 2]
條件：無
只按指定聯集／交集運算更新，原集合及模式不被偷偷替換。
規則：complete_selected_family_set_fold · 依賴：G001, S006
操作前
mode=open_union;accumulator=[0, 2];next member=[0, 1, 2, 3]
操作後
next accumulator=[0, 1, 2, 3]
條件：無
只按指定聯集／交集運算更新，原集合及模式不被偷偷替換。
規則：complete_selected_family_set_fold · 依賴：G001, S007
操作前
all selected properties qualified=是;result=[0, 1, 2, 3]
操作後
result property qualified=是
條件：無
閉合定理的前提全合格時保證結果資格；前提不合格時，結果仍可能碰巧合格，所以兩欄分開計算。
規則：closure_premises_and_result_property_separate · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(4, open_union, [[], [0, 2], [0, 1, 2, 3]], 是, [0, 1, 2, 3], 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 3585b4362980a027bb03fc5966b645809af9dbeec152fee678fa05210217d60dcandidate record SHA-256: 6ee67a2fb9f387f463f2ab3ca9e3fa99a0f9513db963cba43d6cfda311719813semantic review receipt SHA-256: bd35da62087a15d6b89b45585dc46e89b9efbe097cba7b3c707b5030496f013cquestion-first witness SHA-256: fab45a10d8ac95c7d61d32e47d1bdd3ca862c17c3289a6bf4b01d4dc9492fbb6Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED