第 2538 題：有限軌道與週期

原題與已知條件

完整有限狀態自映射。操作=orbit-least-period；資料={"modulus":5,"a":2,"b":4,"x":0}。請依 [modulus,a,b,x,trace,repeat,cycle_start,least_period_or_nonperiodic] 欄序回答。

• G001 — 完整有限狀態自映射。操作=orbit-least-period；資料={"modulus":5,"a":2,"b":4,"x":0}。請依 [modulus,a,b,x,trace,repeat,cycle_start,least_period_or_nonperiodic] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-orbit-fixed-periodic

逐步推導

n=5; a=2; b=4

S={0,...,4}; T(z)=(a·z+b) mod n

start=0

record each state before its first successor calculation

least period step1 product := mul(2, 0)

least period step1 product = 0

least period step1 affine value := sum(0, 4)

least period step1 affine value = 4

Euclidean division of 4 by 5

4=0·5+4

least period step2 product := mul(2, 4)

least period step2 product = 8

least period step2 affine value := sum(8, 4)

least period step2 affine value = 12

Euclidean division of 12 by 5

12=2·5+2

least period step3 product := mul(2, 2)

least period step3 product = 4

least period step3 affine value := sum(4, 4)

least period step3 affine value = 8

Euclidean division of 8 by 5

8=1·5+3

least period step4 product := mul(2, 3)

least period step4 product = 6

least period step4 affine value := sum(6, 4)

least period step4 affine value = 10

Euclidean division of 10 by 5

10=2·5+0

distinct trace=[0, 4, 2, 3]; first repeated state=0

cycle_start=0; starting-point least period=4

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step4 affine value，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step4 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step3 affine value，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step3 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step2 affine value，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step2 product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step1 affine value，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 least period step1 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5, 2, 4, 0, [0, 4, 2, 3], 0, 0, 4)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。