第 2569 題：有限軌道與週期

原題與已知條件

完整有限狀態自映射。操作=orbit-periodic-inventory；資料={"modulus":5,"a":1,"b":10,"period_bound":1}。請依 [modulus,a,b,period_bound,point_period_rows,selected_points] 欄序回答。

• G001 — 完整有限狀態自映射。操作=orbit-periodic-inventory；資料={"modulus":5,"a":1,"b":10,"period_bound":1}。請依 [modulus,a,b,period_bound,point_period_rows,selected_points] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-orbit-fixed-periodic

逐步推導

n=5; a=1; b=10

S={0,...,4}; T(z)=(a·z+b) mod n

start=0

record each state before its first successor calculation

point0 step1 product := mul(1, 0)

point0 step1 product = 0

point0 step1 affine value := sum(0, 10)

point0 step1 affine value = 10

Euclidean division of 10 by 5

10=2·5+0

distinct trace=[0]; first repeated state=0

cycle_start=0; starting-point least period=1

start=1

record each state before its first successor calculation

point1 step1 product := mul(1, 1)

point1 step1 product = 1

point1 step1 affine value := sum(1, 10)

point1 step1 affine value = 11

Euclidean division of 11 by 5

11=2·5+1

distinct trace=[1]; first repeated state=1

cycle_start=0; starting-point least period=1

start=2

record each state before its first successor calculation

point2 step1 product := mul(1, 2)

point2 step1 product = 2

point2 step1 affine value := sum(2, 10)

point2 step1 affine value = 12

Euclidean division of 12 by 5

12=2·5+2

distinct trace=[2]; first repeated state=2

cycle_start=0; starting-point least period=1

start=3

record each state before its first successor calculation

point3 step1 product := mul(1, 3)

point3 step1 product = 3

point3 step1 affine value := sum(3, 10)

point3 step1 affine value = 13

Euclidean division of 13 by 5

13=2·5+3

distinct trace=[3]; first repeated state=3

cycle_start=0; starting-point least period=1

start=4

record each state before its first successor calculation

point4 step1 product := mul(1, 4)

point4 step1 product = 4

point4 step1 affine value := sum(4, 10)

point4 step1 affine value = 14

Euclidean division of 14 by 5

14=2·5+4

distinct trace=[4]; first repeated state=4

cycle_start=0; starting-point least period=1

[[0, 1], [1, 1], [2, 1], [3, 1], [4, 1]]

least positive period≤1: [0, 1, 2, 3, 4]

逐步反向核對

• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point4 step1 product，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point3 step1 product，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point2 step1 product，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point1 step1 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 依固定自映射重播循環；只對這個完整有限模型推出回返或不回返，不延伸到未給定的系統。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step1 affine value，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 point0 step1 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5, 1, 10, 1, [[0, 1], [1, 1], [2, 1], [3, 1], [4, 1]], [0, 1, 2, 3, 4])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。