R0057-29188 · q-20261013-advance-20261022-r07-finite-discrete-probability-distribution-0088
有限離散精確PMF。操作=distribution-pushforward；資料={"outcomes":[12,13,15],"masses":[[1,4],[1,4],[1,2]],"images":[0,1,0]}。請依 [outcomes,masses,images,pushforward_rows] 欄序回答。
G001 — 有限離散精確PMF。操作=distribution-pushforward；資料={"outcomes":[12,13,15],"masses":[[1,4],[1,4],[1,2]],"images":[0,1,0]}。請依 [outcomes,masses,images,pushforward_rows] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-str22-distribution-pushforward, distribution-pushforward]
操作後
derived = [[outcomes, masses, images, pushforward_rows]]
條件：無
此銀行依原tuple欄序與hyphen operation。fraction約分、正分母且整數省略/1，與前輪舊契約不同；不改原中英快照或題意。
規則：STR22_exact_interface_and_source_ORDERED_tuple_roles · 依賴：G001
操作前
source roles = [PMF raw mass slot0, [1, 4]]
操作後
derived = [1/4, 1, 4]
條件：無
原rational必須二元pair且raw分子／分母各在±1e6、分母非0。先正分母與gcd約分；不能接受scalar或先約分再繞過raw輸入界。
規則：STR22_RAW_rational_PAIR_profile_and_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [PMF raw mass slot1, [1, 4]]
操作後
derived = [1/4, 1, 4]
條件：無
原rational必須二元pair且raw分子／分母各在±1e6、分母非0。先正分母與gcd約分；不能接受scalar或先約分再繞過raw輸入界。
規則：STR22_RAW_rational_PAIR_profile_and_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [PMF raw mass slot2, [1, 2]]
操作後
derived = [1/2, 1, 2]
條件：無
原rational必須二元pair且raw分子／分母各在±1e6、分母非0。先正分母與gcd約分；不能接受scalar或先約分再繞過raw輸入界。
規則：STR22_RAW_rational_PAIR_profile_and_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S003
操作前
PMF ORIGINAL normalization running sum0 := sum(0, 1/4)
操作後
PMF ORIGINAL normalization running sum0 = 1/4
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [PMF ORIGINAL normalization running sum0, sum, [0, 1/4]]
操作後
derived = [[1], [1, 4], 1/4]
條件：無
來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。
規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S005
操作前
PMF ORIGINAL normalization running sum1 := sum(1/4, 1/4)
操作後
PMF ORIGINAL normalization running sum1 = 1/2
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
source roles = [PMF ORIGINAL normalization running sum1, sum, [1/4, 1/4]]
操作後
derived = [[4], [2, 4], 1/2]
條件：無
來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。
規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S007
操作前
PMF ORIGINAL normalization running sum2 := sum(1/2, 1/2)
操作後
PMF ORIGINAL normalization running sum2 = 1
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [PMF ORIGINAL normalization running sum2, sum, [1/2, 1/2]]
操作後
derived = [[2], [2, 2], 1]
條件：無
來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。
規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S009
操作前
source roles = [[12, 13, 15], [1/4, 1/4, 1/2]]
操作後
derived = [[[12, 1/4], [13, 1/4], [15, 1/2]], 是, 1, 是, 是]
條件：無
保原outcomes與mass逐slot配對，逐原順序求完整和。非負與總和1是分開責任；qualification可合法No，不重新normalize或把負值clip0。
規則：PMF_ALL_original_outcome_mass_alignment_NONNEG_AND_EXACTsum1 · 依賴：G001, S010
操作前
PMF ORIGINAL pushforward slot0 image0 := sum(0, 1/4)
操作後
PMF ORIGINAL pushforward slot0 image0 = 1/4
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
source roles = [PMF ORIGINAL pushforward slot0 image0, sum, [0, 1/4]]
操作後
derived = [[1], [1, 4], 1/4]
條件：無
來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。
規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S012
操作前
PMF ORIGINAL pushforward slot1 image1 := sum(0, 1/4)
操作後
PMF ORIGINAL pushforward slot1 image1 = 1/4
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
source roles = [PMF ORIGINAL pushforward slot1 image1, sum, [0, 1/4]]
操作後
derived = [[1], [1, 4], 1/4]
條件：無
來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。
規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S014
操作前
PMF ORIGINAL pushforward slot2 image0 := sum(1/4, 1/2)
操作後
PMF ORIGINAL pushforward slot2 image0 = 3/4
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
source roles = [PMF ORIGINAL pushforward slot2 image0, sum, [1/4, 1/2]]
操作後
derived = [[2], [3, 4], 3/4]
條件：無
來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。
規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S016
操作前
source roles = [[12, 13, 15], [1/4, 1/4, 1/2], [0, 1, 0]]
操作後
derived = [[[0, 3/4], [1, 1/4]]]
條件：無
由P(f(Y)=z)=sum_{i:f(y_i)=z}p_i，把每個原slot的mass恰加一次到完整fiber，之後才依image數值排序。即使某image只有零mass也保row；不是改配對或只列正support。
規則：PMF_pushforward_ALL_fibres_ORIGINAL_alignment_ZERO_rows_retained · 依賴：G001, S017
S018 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S017 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL pushforward slot2 image0，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL pushforward slot1 image1，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL pushforward slot0 image0，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S010 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL normalization running sum2，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL normalization running sum1，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PMF ORIGINAL normalization running sum0，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S003 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S002 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S001 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。([12, 13, 15], [1/4, 1/4, 1/2], [0, 1, 0], [[0, 3/4], [1, 1/4]])
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: ed31dcd554f5c3a263a2c1e194410a2cae8b0c85ee20a5d0c49d767f57a39ececandidate record SHA-256: e8dca01f23b76526d6f05e867762f39d361a89039553335aeca8db066ae7e49esemantic review receipt SHA-256: db445bb0caa8a249fcf78eadd2550b49b820e279cc80b2327f0d757d3ae920b6question-first witness SHA-256: 58d12a50ea9943c50b65927607347101b1ddaf692d62e091f2cae8a9f0362eb5Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED