第 10376 題：複數模與共軛

原題與已知條件

複數以整數有序對表示。操作=complexmod-product-conjugate；資料={"value":[-12,-3]}。請依 [value,conjugate,product,modulus_square] 欄序回答。

• G001 — 複數以整數有序對表示。操作=complexmod-product-conjugate；資料={"value":[-12,-3]}。請依 [value,conjugate,product,modulus_square] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-complex-modulus-conjugate

逐步推導

declared complex ordered pair=[-12, -3]

exact integer coefficients in the algebra with i^2=-1

given value negate imaginary coefficient := sub(0, -3)

given value negate imaginary coefficient = 3

given value:original ordered pair=[-12, -3]

conjugate pair=[-12, 3]

value times conjugate real-real := mul(-12, -12)

value times conjugate real-real = 144

value times conjugate imaginary-imaginary := mul(-3, 3)

value times conjugate imaginary-imaginary = -9

value times conjugate real coefficient := sub(144, -9)

value times conjugate real coefficient = 153

value times conjugate real-imaginary := mul(-12, 3)

value times conjugate real-imaginary = -36

value times conjugate imaginary-real := mul(-3, -12)

value times conjugate imaginary-real = 36

value times conjugate imaginary coefficient := sum(-36, 36)

value times conjugate imaginary coefficient = 0

value times conjugate:left=[-12, -3];right=[-12, 3];i^2=-1

complex product=[153, 0]

real coefficient squared := mul(-12, -12)

real coefficient squared = 144

imaginary coefficient squared := mul(-3, -3)

imaginary coefficient squared = 9

exact squared modulus := sum(144, 9)

exact squared modulus = 153

value=[-12, -3];real square=144;imaginary square=9

modulus squared=153

computed product=[153, 0];squared modulus=153

product is real embedding [modulus squared,0]

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 exact squared modulus，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 imaginary coefficient squared，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real coefficient squared，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate imaginary coefficient，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate imaginary-real，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate real-imaginary，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate real coefficient，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate imaginary-imaginary，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 value times conjugate real-real，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 given value negate imaginary coefficient，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-12, -3], [-12, 3], [153, 0], 153)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。