第 10689 題：二變數實函數

原題與已知條件

明示R2到R多項式與座標角色。操作=multivar-x-slice-table；資料={"coefficients":[1,1,3,1,0,-1],"y":1,"xs":[-1,0,3]}。請依 [coefficients,fixed_y,xs,table] 欄序回答。

• G001 — 明示R2到R多項式與座標角色。操作=multivar-x-slice-table；資料={"coefficients":[1,1,3,1,0,-1],"y":1,"xs":[-1,0,3]}。請依 [coefficients,fixed_y,xs,table] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-multivariable-real-function

逐步推導

original six coefficients=[1, 1, 3, 1, 0, -1]

declared scalar R2->R polynomial;finite audits keep coordinate/value roles

fixed second coordinate y=1;raw first-coordinate list=[-1, 0, 3]

sorted distinct first coordinates=[-1, 0, 3]

slice x-1 x squared := mul(-1, -1)

slice x-1 x squared = 1

slice x-1 x times y := mul(-1, 1)

slice x-1 x times y = -1

slice x-1 y squared := mul(1, 1)

slice x-1 y squared = 1

slice x-1:x=-1;y=1;coefficients=[1, 1, 3, 1, 0, -1]

fixed monomial values [1,x,y,x^2,xy,y^2]=[1, -1, 1, 1, -1, 1]

slice x-1 monomial term0 := mul(1, 1)

slice x-1 monomial term0 = 1

slice x-1 monomial term1 := mul(1, -1)

slice x-1 monomial term1 = -1

slice x-1 monomial term2 := mul(3, 1)

slice x-1 monomial term2 = 3

slice x-1 monomial term3 := mul(1, 1)

slice x-1 monomial term3 = 1

slice x-1 monomial term4 := mul(0, -1)

slice x-1 monomial term4 = 0

slice x-1 monomial term5 := mul(-1, 1)

slice x-1 monomial term5 = -1

slice x-1 complete polynomial sum := sum(1, -1, 3, 1, 0, -1)

slice x-1 complete polynomial sum = 3

slice x0 x squared := mul(0, 0)

slice x0 x squared = 0

slice x0 x times y := mul(0, 1)

slice x0 x times y = 0

slice x0 y squared := mul(1, 1)

slice x0 y squared = 1

slice x0:x=0;y=1;coefficients=[1, 1, 3, 1, 0, -1]

fixed monomial values [1,x,y,x^2,xy,y^2]=[1, 0, 1, 0, 0, 1]

slice x0 monomial term0 := mul(1, 1)

slice x0 monomial term0 = 1

slice x0 monomial term1 := mul(1, 0)

slice x0 monomial term1 = 0

slice x0 monomial term2 := mul(3, 1)

slice x0 monomial term2 = 3

slice x0 monomial term3 := mul(1, 0)

slice x0 monomial term3 = 0

slice x0 monomial term4 := mul(0, 0)

slice x0 monomial term4 = 0

slice x0 monomial term5 := mul(-1, 1)

slice x0 monomial term5 = -1

slice x0 complete polynomial sum := sum(1, 0, 3, 0, 0, -1)

slice x0 complete polynomial sum = 3

slice x3 x squared := mul(3, 3)

slice x3 x squared = 9

slice x3 x times y := mul(3, 1)

slice x3 x times y = 3

slice x3 y squared := mul(1, 1)

slice x3 y squared = 1

slice x3:x=3;y=1;coefficients=[1, 1, 3, 1, 0, -1]

fixed monomial values [1,x,y,x^2,xy,y^2]=[1, 3, 1, 9, 3, 1]

slice x3 monomial term0 := mul(1, 1)

slice x3 monomial term0 = 1

slice x3 monomial term1 := mul(1, 3)

slice x3 monomial term1 = 3

slice x3 monomial term2 := mul(3, 1)

slice x3 monomial term2 = 3

slice x3 monomial term3 := mul(1, 9)

slice x3 monomial term3 = 9

slice x3 monomial term4 := mul(0, 3)

slice x3 monomial term4 = 0

slice x3 monomial term5 := mul(-1, 1)

slice x3 monomial term5 = -1

slice x3 complete polynomial sum := sum(1, 3, 3, 9, 0, -1)

slice x3 complete polynomial sum = 15

逐步反向核對

• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x3 complete polynomial sum，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x3 monomial term5，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x3 monomial term4，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x3 monomial term3，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x3 monomial term2，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x3 monomial term1，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x3 monomial term0，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x3 y squared，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x3 x times y，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x3 x squared，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x0 complete polynomial sum，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x0 monomial term5，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x0 monomial term4，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x0 monomial term3，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x0 monomial term2，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x0 monomial term1，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x0 monomial term0，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x0 y squared，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x0 x times y，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x0 x squared，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x-1 complete polynomial sum，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x-1 monomial term5，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x-1 monomial term4，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x-1 monomial term3，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x-1 monomial term2，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x-1 monomial term1，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x-1 monomial term0，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x-1 y squared，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x-1 x times y，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 slice x-1 x squared，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([1, 1, 3, 1, 0, -1], 1, [-1, 0, 3], [[-1, 3], [0, 3], [3, 15]])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。