第 11260 題：線性獨立與基底

原題與已知條件

明示有限座標向量族。操作=linbasis-dependence-witness-audit；資料={"vectors":[[1,0],[0,1],[1,-3]],"coefficients":[-1,3,1]}。請依 [vectors,coefficients,sum,nontrivial,zero_sum,dependence_witness] 欄序回答。

• G001 — 明示有限座標向量族。操作=linbasis-dependence-witness-audit；資料={"vectors":[[1,0],[0,1],[1,-3]],"coefficients":[-1,3,1]}。請依 [vectors,coefficients,sum,nontrivial,zero_sum,dependence_witness] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-independence-basis

逐步推導

dependence witness:ordered vectors=[[1, 0], [0, 1], [1, -3]];aligned weights=[-1, 3, 1]

dimension=2;preserve duplicates and order

dependence witness coordinate0 term0 := mul(-1, 1)

dependence witness coordinate0 term0 = -1

dependence witness coordinate0 term1 := mul(3, 0)

dependence witness coordinate0 term1 = 0

dependence witness coordinate0 term2 := mul(1, 1)

dependence witness coordinate0 term2 = 1

dependence witness coordinate0 sum := sum(-1, 0, 1)

dependence witness coordinate0 sum = 0

dependence witness coordinate1 term0 := mul(-1, 0)

dependence witness coordinate1 term0 = 0

dependence witness coordinate1 term1 := mul(3, 1)

dependence witness coordinate1 term1 = 3

dependence witness coordinate1 term2 := mul(1, -3)

dependence witness coordinate1 term2 = -3

dependence witness coordinate1 sum := sum(0, 3, -3)

dependence witness coordinate1 sum = 0

given coefficients=[-1, 3, 1];weighted sum=[0, 0]

nontrivial=是;zero_sum=是;dependence_witness=是

逐步反向核對

• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate1 sum，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate1 term2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate1 term1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate1 term0，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate0 sum，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate0 term2，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate0 term1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dependence witness coordinate0 term0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[1, 0], [0, 1], [1, -3]], [-1, 3, 1], [0, 0], 是, 是, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。