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第 11374 題：有限狀態Markov鏈

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0021-11374 · q-20261013-advance-20261024-r03-finite-markov-chain-0099

原題與已知條件

rows=current state且columns=next state。操作=markov-path-probability；資料={"initial":[[24,25],[1,25]],"transition":[[[12,13],[1,13]],[[25,27],[2,27]]],"path":[1,0,1]}。請依 [path,factors,path_probability] 欄序回答。

  • G001 — rows=current state且columns=next state。操作=markov-path-probability；資料={"initial":[[24,25],[1,25]],"transition":[[[12,13],[1,13]],[[25,27],[2,27]]],"path":[1,0,1]}。請依 [path,factors,path_probability] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

transition row0:raw rational pairs=[[12, 13], [1, 13]]

操作後

transition row0:normalized=[12/13, 1/13]

條件：無

每個原分母須非零；分數約分並令分母正，不以小數近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_weight_normalization · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

transition row0 total := sum(12/13, 1/13)

操作後

transition row0 total = 1

條件：無

按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

transition row0:weights=[12/13, 1/13];sum=1

操作後

nonnegative=是;total_one=是;qualified=是

條件：無

非負與總和恰為1分開核；零權重合法，負數或接近1不自動修補。

步驟識別與依賴

規則：separate_weight_guards · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

transition row1:raw rational pairs=[[25, 27], [2, 27]]

操作後

transition row1:normalized=[25/27, 2/27]

條件：無

每個原分母須非零；分數約分並令分母正，不以小數近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_weight_normalization · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

transition row1 total := sum(25/27, 2/27)

操作後

transition row1 total = 1

條件：無

按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

transition row1:weights=[25/27, 2/27];sum=1

操作後

nonnegative=是;total_one=是;qualified=是

條件：無

非負與總和恰為1分開核；零權重合法，負數或接近1不自動修補。

步驟識別與依賴

規則：separate_weight_guards · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

complete transition matrix=[[12/13, 1/13], [25/27, 2/27]];row sums=[1, 1]

操作後

nonnegative=是;row_stochastic=是;rows=current state, columns=next state

條件：無

完整轉移表逐列非負且和1才合格；不以行和代替列和。固定時間齊次Markov模型，不推出平穩、遍歷或長期收斂。

步驟識別與依賴

規則：whole_row_stochastic_kernel_convention · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

initial law:raw rational pairs=[[24, 25], [1, 25]]

操作後

initial law:normalized=[24/25, 1/25]

條件：無

每個原分母須非零；分數約分並令分母正，不以小數近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_weight_normalization · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

initial law total := sum(24/25, 1/25)

操作後

initial law total = 1

條件：無

按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

initial law:weights=[24/25, 1/25];sum=1

操作後

nonnegative=是;total_one=是;qualified=是

條件：無

非負與總和恰為1分開核；零權重合法，負數或接近1不自動修補。

步驟識別與依賴

規則：separate_weight_guards · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

path=[1, 0, 1];initial law=[24/25, 1/25]

操作後

factor0=initial[1]=1/25

條件：無

路徑事件包含首狀態，先放其初始質量；單狀態路徑只有這一因子。

步驟識別與依賴

規則：path_includes_initial_state_mass · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

path step=1;current=1;next=0

操作後

factor1=P[1][0]=25/27

條件：無

依原路徑方向讀當前列、下一狀態欄。零機率可作連乘因子，不以零事件上的條件機率除法推導。

步驟識別與依賴

規則：path_ordered_transition_factor · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

path step=2;current=0;next=1

操作後

factor2=P[0][1]=1/13

條件：無

依原路徑方向讀當前列、下一狀態欄。零機率可作連乘因子，不以零事件上的條件機率除法推導。

步驟識別與依賴

規則：path_ordered_transition_factor · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

path prefix product1 := mul(1/25, 25/27)

操作後

path prefix product1 = 1/27

條件：無

按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

path prefix product2 := mul(1/27, 1/13)

操作後

path prefix product2 = 1/351

條件：無

按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

ordered path factors=[1/25, 25/27, 1/13]

操作後

finite path probability=1/351

條件：無

以此模型的有限路徑乘積定義連乘初始質量與所有轉移；不主張一般隨機過程也具有Markov性。

步驟識別與依賴

規則：finite_markov_path_joint_probability · 依賴：G001, S015

逐步反向核對

  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 path prefix product2，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 path prefix product1，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 initial law total，不以小數近似替代。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 transition row1 total，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 transition row0 total，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([1, 0, 1], [1/25, 25/27, 1/13], 1/351)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 8b01f0dbc30a591ccf4f4839a1fea61654c169d47053c1ff3ed339eda737e564
  • candidate record SHA-256: 6935e470ffe7245dac7100cdc4fffe644af702c3212039a5436436188f6025ad
  • semantic review receipt SHA-256: 47d23d3735987d68e27733b051bdfa80a3616d44fb223b82bf2e6c8e46d49258
  • question-first witness SHA-256: a857db558000724020d2d5e815cb6bc3e2c9e2933df295bf33eb478d3c695139
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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