第 11501 題：偏導數

原題與已知條件

固定另一座標的多項式切片。操作=partial-gradient；資料={"coefficients":[-12,-2,-3,1,-1,-1],"x":-2,"y":-3}。請依 [coefficients,x,y,gradient] 欄序回答。

• G001 — 固定另一座標的多項式切片。操作=partial-gradient；資料={"coefficients":[-12,-2,-3,1,-1,-1],"x":-2,"y":-3}。請依 [coefficients,x,y,gradient] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-partial-derivative

逐步推導

original coefficients=[-12, -2, -3, 1, -1, -1];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2]

u(x,y)=(-12)+(-2)*x+(-3)*y+(1)*x^2+(-1)*x*y+(-1)*y^2

x partial slice fixed coordinate squared := mul(-3, -3)

x partial slice fixed coordinate squared = 9

x partial slice fixed linear term := mul(-3, -3)

x partial slice fixed linear term = 9

x partial slice fixed square term := mul(-1, 9)

x partial slice fixed square term = -9

x partial slice constant coefficient := sum(-12, 9, -9)

x partial slice constant coefficient = -12

x partial slice cross contribution := mul(-1, -3)

x partial slice cross contribution = 3

x partial slice linear coefficient := sum(-2, 3)

x partial slice linear coefficient = 1

x partial slice:vary x;fix y=-3;original coefficients=[-12, -2, -3, 1, -1, -1]

ascending x slice coefficients=[-12, 1, 1]

x partial:g(t)=(-12)+(1)*t+(1)*t^2;point=-2;h!=0

g(-2+h)-g(-2)=(1)*h+(1)*(2*(-2)*h+h^2)

x partial twice quadratic coefficient := mul(2, 1)

x partial twice quadratic coefficient = 2

x partial derivative point term := mul(2, -2)

x partial derivative point term = -4

x partial derivative value := sum(1, -4)

x partial derivative value = -3

x partial:h!=0;increment=h*((1)+2*(1)*(-2)+(1)*h)

difference quotient=-3+(1)*h

x partial:quotient=-3+(1)*h;epsilon>0;delta=epsilon/1

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(-3))=abs(1)*abs(h)<epsilon;limit=-3

y partial slice fixed coordinate squared := mul(-2, -2)

y partial slice fixed coordinate squared = 4

y partial slice fixed linear term := mul(-2, -2)

y partial slice fixed linear term = 4

y partial slice fixed square term := mul(1, 4)

y partial slice fixed square term = 4

y partial slice constant coefficient := sum(-12, 4, 4)

y partial slice constant coefficient = -4

y partial slice cross contribution := mul(-1, -2)

y partial slice cross contribution = 2

y partial slice linear coefficient := sum(-3, 2)

y partial slice linear coefficient = -1

y partial slice:vary y;fix x=-2;original coefficients=[-12, -2, -3, 1, -1, -1]

ascending y slice coefficients=[-4, -1, -1]

y partial:g(t)=(-4)+(-1)*t+(-1)*t^2;point=-3;h!=0

g(-3+h)-g(-3)=(-1)*h+(-1)*(2*(-3)*h+h^2)

y partial twice quadratic coefficient := mul(2, -1)

y partial twice quadratic coefficient = -2

y partial derivative point term := mul(-2, -3)

y partial derivative point term = 6

y partial derivative value := sum(-1, 6)

y partial derivative value = 5

y partial:h!=0;increment=h*((-1)+2*(-1)*(-3)+(-1)*h)

difference quotient=5+(-1)*h

y partial:quotient=5+(-1)*h;epsilon>0;delta=epsilon/1

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(5))=abs(-1)*abs(h)<epsilon;limit=5

x partial=-3;y partial=5

gradient in declared x,y order=[-3, 5]

逐步反向核對

• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial derivative value，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial derivative point term，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice linear coefficient，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice cross contribution，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice constant coefficient，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice fixed square term，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice fixed linear term，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial derivative value，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial derivative point term，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice linear coefficient，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice cross contribution，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice constant coefficient，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice fixed square term，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice fixed linear term，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-12, -2, -3, 1, -1, -1], -2, -3, [-3, 5])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。