第 11508 題：偏導數

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

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R0022-11508 · q-20261013-advance-20261024-r04-partial-derivative-0058

原題與已知條件

固定另一座標的多項式切片。操作=partial-gradient；資料={"coefficients":[-5,0,-3,1,0,-1],"x":0,"y":-3}。請依 [coefficients,x,y,gradient] 欄序回答。

G001 — 固定另一座標的多項式切片。操作=partial-gradient；資料={"coefficients":[-5,0,-3,1,0,-1],"x":0,"y":-3}。請依 [coefficients,x,y,gradient] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-partial-derivative

逐步推導

S001 · implies

操作前

original coefficients=[-5, 0, -3, 1, 0, -1];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2]

操作後

u(x,y)=(-5)+(0)*x+(-3)*y+(1)*x^2+(0)*x*y+(-1)*y^2

條件：無

六個係數按固定單項式順序讀，不與單變量二次式的[a,b,c]降冪次序混用。

步驟識別與依賴

規則：bivariate_scalar_polynomial_basis_roles · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

x partial slice fixed coordinate squared := mul(-3, -3)

操作後

x partial slice fixed coordinate squared = 9

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

x partial slice fixed linear term := mul(-3, -3)

操作後

x partial slice fixed linear term = 9

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

x partial slice fixed square term := mul(-1, 9)

操作後

x partial slice fixed square term = -9

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

x partial slice constant coefficient := sum(-5, 9, -9)

操作後

x partial slice constant coefficient = -5

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

x partial slice cross contribution := mul(0, -3)

操作後

x partial slice cross contribution = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

x partial slice linear coefficient := sum(0, 0)

操作後

x partial slice linear coefficient = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

x partial slice:vary x;fix y=-3;original coefficients=[-5, 0, -3, 1, 0, -1]

操作後

ascending x slice coefficients=[-5, 0, 1]

條件：無

先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。

步驟識別與依賴

規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

x partial:g(t)=(-5)+(0)*t+(1)*t^2;point=0;h!=0

操作後

g(0+h)-g(0)=(0)*h+(1)*(2*(0)*h+h^2)

條件：無

常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。

步驟識別與依賴

規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

x partial twice quadratic coefficient := mul(2, 1)

操作後

x partial twice quadratic coefficient = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

x partial derivative point term := mul(2, 0)

操作後

x partial derivative point term = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

x partial derivative value := sum(0, 0)

操作後

x partial derivative value = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

x partial:h!=0;increment=h*((0)+2*(1)*(0)+(1)*h)

操作後

difference quotient=0+(1)*h

條件：無

提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。

步驟識別與依賴

規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

x partial:quotient=0+(1)*h;epsilon>0;delta=epsilon/1

操作後

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(0))=abs(1)*abs(h)<epsilon;limit=0

條件：無

D=0時誤差恆零，任意正delta皆可；否則取epsilon/|D|。這覆蓋所有足夠小的非零正負h，而非抽樣幾個h。

步驟識別與依賴

規則：slice_two_sided_epsilon_delta_limit · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

y partial slice fixed coordinate squared := mul(0, 0)

操作後

y partial slice fixed coordinate squared = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

y partial slice fixed linear term := mul(0, 0)

操作後

y partial slice fixed linear term = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

y partial slice fixed square term := mul(1, 0)

操作後

y partial slice fixed square term = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

y partial slice constant coefficient := sum(-5, 0, 0)

操作後

y partial slice constant coefficient = -5

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

y partial slice cross contribution := mul(0, 0)

操作後

y partial slice cross contribution = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

y partial slice linear coefficient := sum(-3, 0)

操作後

y partial slice linear coefficient = -3

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

y partial slice:vary y;fix x=0;original coefficients=[-5, 0, -3, 1, 0, -1]

操作後

ascending y slice coefficients=[-5, -3, -1]

條件：無

先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。

步驟識別與依賴

規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

y partial:g(t)=(-5)+(-3)*t+(-1)*t^2;point=-3;h!=0

操作後

g(-3+h)-g(-3)=(-3)*h+(-1)*(2*(-3)*h+h^2)

條件：無

常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。

步驟識別與依賴

規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

y partial twice quadratic coefficient := mul(2, -1)

操作後

y partial twice quadratic coefficient = -2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · calculation

操作前

y partial derivative point term := mul(-2, -3)

操作後

y partial derivative point term = 6

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

y partial derivative value := sum(-3, 6)

操作後

y partial derivative value = 3

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

y partial:h!=0;increment=h*((-3)+2*(-1)*(-3)+(-1)*h)

操作後

difference quotient=3+(-1)*h

條件：無

提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。

步驟識別與依賴

規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

y partial:quotient=3+(-1)*h;epsilon>0;delta=epsilon/1

操作後

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(3))=abs(-1)*abs(h)<epsilon;limit=3

條件：無

D=0時誤差恆零，任意正delta皆可；否則取epsilon/|D|。這覆蓋所有足夠小的非零正負h，而非抽樣幾個h。

步驟識別與依賴

規則：slice_two_sided_epsilon_delta_limit · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

x partial=0;y partial=3

操作後

gradient in declared x,y order=[0, 3]

條件：無

依x後y排列兩個已推得的偏導；此明示多項式算式不把一般函數的偏導存在誤升格為全微分定理。

步驟識別與依賴

規則：gradient_order_not_general_differentiability_claim · 依賴：G001, S027

逐步反向核對

S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial derivative value，不以小數近似替代。
S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial derivative point term，不以小數近似替代。
S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice linear coefficient，不以小數近似替代。
S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice cross contribution，不以小數近似替代。
S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice constant coefficient，不以小數近似替代。
S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice fixed square term，不以小數近似替代。
S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice fixed linear term，不以小數近似替代。
S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 y partial slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial derivative value，不以小數近似替代。
S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial derivative point term，不以小數近似替代。
S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice linear coefficient，不以小數近似替代。
S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice cross contribution，不以小數近似替代。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice constant coefficient，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice fixed square term，不以小數近似替代。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice fixed linear term，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x partial slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-5, 0, -3, 1, 0, -1], 0, -3, [0, 3])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: 8e96ed94002b0eeba5444471780be61e86db1f3fe3310c6259a9f6ae0c9a5ca3
candidate record SHA-256: 937be0b3fa6ae958e710361348324973220e56607968e479087b65bc89dc4693
semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac
question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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