第 11584 題：偏導數

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0022-11584 · q-20261013-advance-20261024-r04-partial-derivative-0084

原題與已知條件

固定另一座標的多項式切片。操作=partial-x-slice-derivative；資料={"coefficients":[-4,1,-2,1,1,-1],"fixed_y":1,"x":-2}。請依 [coefficients,fixed_y,slice_coefficients,derivative_coefficients,x,value] 欄序回答。

G001 — 固定另一座標的多項式切片。操作=partial-x-slice-derivative；資料={"coefficients":[-4,1,-2,1,1,-1],"fixed_y":1,"x":-2}。請依 [coefficients,fixed_y,slice_coefficients,derivative_coefficients,x,value] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-partial-derivative

逐步推導

S001 · implies

操作前

original coefficients=[-4, 1, -2, 1, 1, -1];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2]

操作後

u(x,y)=(-4)+(1)*x+(-2)*y+(1)*x^2+(1)*x*y+(-1)*y^2

條件：無

六個係數按固定單項式順序讀，不與單變量二次式的[a,b,c]降冪次序混用。

步驟識別與依賴

規則：bivariate_scalar_polynomial_basis_roles · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

fixed-y slice fixed coordinate squared := mul(1, 1)

操作後

fixed-y slice fixed coordinate squared = 1

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

fixed-y slice fixed linear term := mul(-2, 1)

操作後

fixed-y slice fixed linear term = -2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

fixed-y slice fixed square term := mul(-1, 1)

操作後

fixed-y slice fixed square term = -1

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

fixed-y slice constant coefficient := sum(-4, -2, -1)

操作後

fixed-y slice constant coefficient = -7

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

fixed-y slice cross contribution := mul(1, 1)

操作後

fixed-y slice cross contribution = 1

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

fixed-y slice linear coefficient := sum(1, 1)

操作後

fixed-y slice linear coefficient = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

fixed-y slice:vary x;fix y=1;original coefficients=[-4, 1, -2, 1, 1, -1]

操作後

ascending x slice coefficients=[-7, 2, 1]

條件：無

先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。

步驟識別與依賴

規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

x slice derivative:g(t)=(-7)+(2)*t+(1)*t^2;point=-2;h!=0

操作後

g(-2+h)-g(-2)=(2)*h+(1)*(2*(-2)*h+h^2)

條件：無

常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。

步驟識別與依賴

規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

x slice derivative twice quadratic coefficient := mul(2, 1)

操作後

x slice derivative twice quadratic coefficient = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

x slice derivative derivative point term := mul(2, -2)

操作後

x slice derivative derivative point term = -4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

x slice derivative derivative value := sum(2, -4)

操作後

x slice derivative derivative value = -2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

x slice derivative:h!=0;increment=h*((2)+2*(1)*(-2)+(1)*h)

操作後

difference quotient=-2+(1)*h

條件：無

提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。

步驟識別與依賴

規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

x slice derivative:quotient=-2+(1)*h;epsilon>0;delta=epsilon/1

操作後

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(-2))=abs(1)*abs(h)<epsilon;limit=-2

條件：無

D=0時誤差恆零，任意正delta皆可；否則取epsilon/|D|。這覆蓋所有足夠小的非零正負h，而非抽樣幾個h。

步驟識別與依賴

規則：slice_two_sided_epsilon_delta_limit · 依賴：G001, S013

逐步反向核對

S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x slice derivative derivative value，不以小數近似替代。
S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x slice derivative derivative point term，不以小數近似替代。
S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x slice derivative twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 fixed-y slice linear coefficient，不以小數近似替代。
S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 fixed-y slice cross contribution，不以小數近似替代。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 fixed-y slice constant coefficient，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 fixed-y slice fixed square term，不以小數近似替代。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 fixed-y slice fixed linear term，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 fixed-y slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-4, 1, -2, 1, 1, -1], 1, [-7, 2, 1], [2, 2], -2, -2)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: 2e473d3db215845c79333d54d249a6248828083a83c941d3ed8d8c13b92e9084
candidate record SHA-256: a5ee36d42245fea6f5012603f9c9c614c752454c9f60cb12a7a8fa553c99c5f8
semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac
question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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