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第 11591 題：偏導數

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0022-11591 · q-20261013-advance-20261024-r04-partial-derivative-0091

原題與已知條件

固定另一座標的多項式切片。操作=partial-x-slice-derivative；資料={"coefficients":[3,-2,-2,1,-1,-1],"fixed_y":-2,"x":-2}。請依 [coefficients,fixed_y,slice_coefficients,derivative_coefficients,x,value] 欄序回答。

  • G001 — 固定另一座標的多項式切片。操作=partial-x-slice-derivative；資料={"coefficients":[3,-2,-2,1,-1,-1],"fixed_y":-2,"x":-2}。請依 [coefficients,fixed_y,slice_coefficients,derivative_coefficients,x,value] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

original coefficients=[3, -2, -2, 1, -1, -1];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2]

操作後

u(x,y)=(3)+(-2)*x+(-2)*y+(1)*x^2+(-1)*x*y+(-1)*y^2

條件：無

六個係數按固定單項式順序讀，不與單變量二次式的[a,b,c]降冪次序混用。

步驟識別與依賴

規則：bivariate_scalar_polynomial_basis_roles · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

fixed-y slice fixed coordinate squared := mul(-2, -2)

操作後

fixed-y slice fixed coordinate squared = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

fixed-y slice fixed linear term := mul(-2, -2)

操作後

fixed-y slice fixed linear term = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

fixed-y slice fixed square term := mul(-1, 4)

操作後

fixed-y slice fixed square term = -4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

fixed-y slice constant coefficient := sum(3, 4, -4)

操作後

fixed-y slice constant coefficient = 3

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

fixed-y slice cross contribution := mul(-1, -2)

操作後

fixed-y slice cross contribution = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

fixed-y slice linear coefficient := sum(-2, 2)

操作後

fixed-y slice linear coefficient = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

fixed-y slice:vary x;fix y=-2;original coefficients=[3, -2, -2, 1, -1, -1]

操作後

ascending x slice coefficients=[3, 0, 1]

條件：無

先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。

步驟識別與依賴

規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

x slice derivative:g(t)=(3)+(0)*t+(1)*t^2;point=-2;h!=0

操作後

g(-2+h)-g(-2)=(0)*h+(1)*(2*(-2)*h+h^2)

條件：無

常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。

步驟識別與依賴

規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

x slice derivative twice quadratic coefficient := mul(2, 1)

操作後

x slice derivative twice quadratic coefficient = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

x slice derivative derivative point term := mul(2, -2)

操作後

x slice derivative derivative point term = -4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

x slice derivative derivative value := sum(0, -4)

操作後

x slice derivative derivative value = -4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

x slice derivative:h!=0;increment=h*((0)+2*(1)*(-2)+(1)*h)

操作後

difference quotient=-4+(1)*h

條件：無

提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。

步驟識別與依賴

規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

x slice derivative:quotient=-4+(1)*h;epsilon>0;delta=epsilon/1

操作後

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(-4))=abs(1)*abs(h)<epsilon;limit=-4

條件：無

D=0時誤差恆零，任意正delta皆可；否則取epsilon/|D|。這覆蓋所有足夠小的非零正負h，而非抽樣幾個h。

步驟識別與依賴

規則：slice_two_sided_epsilon_delta_limit · 依賴：G001, S013

逐步反向核對

  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x slice derivative derivative value，不以小數近似替代。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x slice derivative derivative point term，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x slice derivative twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 fixed-y slice linear coefficient，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 fixed-y slice cross contribution，不以小數近似替代。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 fixed-y slice constant coefficient，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 fixed-y slice fixed square term，不以小數近似替代。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 fixed-y slice fixed linear term，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 fixed-y slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([3, -2, -2, 1, -1, -1], -2, [3, 0, 1], [0, 2], -2, -4)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: eae8d5cfa52254d80091826f46d758427fc658c5c365f0ee6f8bd28a571c260c
  • candidate record SHA-256: b4c91fe2c00273000adc97cc3989daae9c0cd29bcdf57f2e22213b3061d13063
  • semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac
  • question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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