第 11601 題：線性PDE切片

原題與已知條件

明示線性PDE算子與係數convention。操作=pde-first-order-point-residual；資料={"coefficients":[-12,-2,-3,1,-1,-2],"operator":[1,-2],"source":-12,"x":-2,"y":-3}。請依 [coefficients,operator,x,y,u_x,u_y,source,residual,satisfies_at_point] 欄序回答。

• G001 — 明示線性PDE算子與係數convention。操作=pde-first-order-point-residual；資料={"coefficients":[-12,-2,-3,1,-1,-2],"operator":[1,-2],"source":-12,"x":-2,"y":-3}。請依 [coefficients,operator,x,y,u_x,u_y,source,residual,satisfies_at_point] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-partial-differential-equation

逐步推導

original coefficients=[-12, -2, -3, 1, -1, -2];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2]

u(x,y)=(-12)+(-2)*x+(-3)*y+(1)*x^2+(-1)*x*y+(-2)*y^2

PDE x slice fixed coordinate squared := mul(-3, -3)

PDE x slice fixed coordinate squared = 9

PDE x slice fixed linear term := mul(-3, -3)

PDE x slice fixed linear term = 9

PDE x slice fixed square term := mul(-2, 9)

PDE x slice fixed square term = -18

PDE x slice constant coefficient := sum(-12, 9, -18)

PDE x slice constant coefficient = -21

PDE x slice cross contribution := mul(-1, -3)

PDE x slice cross contribution = 3

PDE x slice linear coefficient := sum(-2, 3)

PDE x slice linear coefficient = 1

PDE x slice:vary x;fix y=-3;original coefficients=[-12, -2, -3, 1, -1, -2]

ascending x slice coefficients=[-21, 1, 1]

PDE x partial:g(t)=(-21)+(1)*t+(1)*t^2;point=-2;h!=0

g(-2+h)-g(-2)=(1)*h+(1)*(2*(-2)*h+h^2)

PDE x partial twice quadratic coefficient := mul(2, 1)

PDE x partial twice quadratic coefficient = 2

PDE x partial derivative point term := mul(2, -2)

PDE x partial derivative point term = -4

PDE x partial derivative value := sum(1, -4)

PDE x partial derivative value = -3

PDE x partial:h!=0;increment=h*((1)+2*(1)*(-2)+(1)*h)

difference quotient=-3+(1)*h

PDE x partial:quotient=-3+(1)*h;epsilon>0;delta=epsilon/1

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(-3))=abs(1)*abs(h)<epsilon;limit=-3

PDE y slice fixed coordinate squared := mul(-2, -2)

PDE y slice fixed coordinate squared = 4

PDE y slice fixed linear term := mul(-2, -2)

PDE y slice fixed linear term = 4

PDE y slice fixed square term := mul(1, 4)

PDE y slice fixed square term = 4

PDE y slice constant coefficient := sum(-12, 4, 4)

PDE y slice constant coefficient = -4

PDE y slice cross contribution := mul(-1, -2)

PDE y slice cross contribution = 2

PDE y slice linear coefficient := sum(-3, 2)

PDE y slice linear coefficient = -1

PDE y slice:vary y;fix x=-2;original coefficients=[-12, -2, -3, 1, -1, -2]

ascending y slice coefficients=[-4, -1, -2]

PDE y partial:g(t)=(-4)+(-1)*t+(-2)*t^2;point=-3;h!=0

g(-3+h)-g(-3)=(-1)*h+(-2)*(2*(-3)*h+h^2)

PDE y partial twice quadratic coefficient := mul(2, -2)

PDE y partial twice quadratic coefficient = -4

PDE y partial derivative point term := mul(-4, -3)

PDE y partial derivative point term = 12

PDE y partial derivative value := sum(-1, 12)

PDE y partial derivative value = 11

PDE y partial:h!=0;increment=h*((-1)+2*(-2)*(-3)+(-2)*h)

difference quotient=11+(-2)*h

PDE y partial:quotient=11+(-2)*h;epsilon>0;delta=epsilon/2

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(11))=abs(-2)*abs(h)<epsilon;limit=11

first order term0 := mul(1, -3)

first order term0 = -3

first order term1 := mul(-2, 11)

first order term1 = -22

first order operator sum := sum(-3, -22)

first order operator sum = -25

first order signed residual := sub(-25, -12)

first order signed residual = -13

query point=[-2, -3];operator value=-25;source=-12;signed residual=-13

satisfied at declared point=否;no general solution claim

逐步反向核對

• S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order signed residual，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order operator sum，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order term1，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order term0，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y partial derivative value，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y partial derivative point term，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice linear coefficient，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice cross contribution，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice constant coefficient，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice fixed square term，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice fixed linear term，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x partial derivative value，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x partial derivative point term，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice linear coefficient，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice cross contribution，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice constant coefficient，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice fixed square term，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice fixed linear term，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-12, -2, -3, 1, -1, -2], [1, -2], -2, -3, -3, 11, -12, -13, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。