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第 11606 題：線性PDE切片

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0022-11606 · q-20261013-advance-20261024-r06-partial-differential-equation-0006

原題與已知條件

明示線性PDE算子與係數convention。操作=pde-first-order-point-residual；資料={"coefficients":[-7,-2,2,2,1,-2],"operator":[3,-2],"source":-7,"x":-2,"y":2}。請依 [coefficients,operator,x,y,u_x,u_y,source,residual,satisfies_at_point] 欄序回答。

  • G001 — 明示線性PDE算子與係數convention。操作=pde-first-order-point-residual；資料={"coefficients":[-7,-2,2,2,1,-2],"operator":[3,-2],"source":-7,"x":-2,"y":2}。請依 [coefficients,operator,x,y,u_x,u_y,source,residual,satisfies_at_point] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

original coefficients=[-7, -2, 2, 2, 1, -2];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2]

操作後

u(x,y)=(-7)+(-2)*x+(2)*y+(2)*x^2+(1)*x*y+(-2)*y^2

條件：無

六個係數按固定單項式順序讀，不與單變量二次式的[a,b,c]降冪次序混用。

步驟識別與依賴

規則：bivariate_scalar_polynomial_basis_roles · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

PDE x slice fixed coordinate squared := mul(2, 2)

操作後

PDE x slice fixed coordinate squared = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

PDE x slice fixed linear term := mul(2, 2)

操作後

PDE x slice fixed linear term = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

PDE x slice fixed square term := mul(-2, 4)

操作後

PDE x slice fixed square term = -8

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

PDE x slice constant coefficient := sum(-7, 4, -8)

操作後

PDE x slice constant coefficient = -11

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

PDE x slice cross contribution := mul(1, 2)

操作後

PDE x slice cross contribution = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

PDE x slice linear coefficient := sum(-2, 2)

操作後

PDE x slice linear coefficient = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

PDE x slice:vary x;fix y=2;original coefficients=[-7, -2, 2, 2, 1, -2]

操作後

ascending x slice coefficients=[-11, 0, 2]

條件：無

先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。

步驟識別與依賴

規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

PDE x partial:g(t)=(-11)+(0)*t+(2)*t^2;point=-2;h!=0

操作後

g(-2+h)-g(-2)=(0)*h+(2)*(2*(-2)*h+h^2)

條件：無

常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。

步驟識別與依賴

規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

PDE x partial twice quadratic coefficient := mul(2, 2)

操作後

PDE x partial twice quadratic coefficient = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

PDE x partial derivative point term := mul(4, -2)

操作後

PDE x partial derivative point term = -8

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

PDE x partial derivative value := sum(0, -8)

操作後

PDE x partial derivative value = -8

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

PDE x partial:h!=0;increment=h*((0)+2*(2)*(-2)+(2)*h)

操作後

difference quotient=-8+(2)*h

條件：無

提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。

步驟識別與依賴

規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

PDE x partial:quotient=-8+(2)*h;epsilon>0;delta=epsilon/2

操作後

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(-8))=abs(2)*abs(h)<epsilon;limit=-8

條件：無

D=0時誤差恆零，任意正delta皆可；否則取epsilon/|D|。這覆蓋所有足夠小的非零正負h，而非抽樣幾個h。

步驟識別與依賴

規則：slice_two_sided_epsilon_delta_limit · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

PDE y slice fixed coordinate squared := mul(-2, -2)

操作後

PDE y slice fixed coordinate squared = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

PDE y slice fixed linear term := mul(-2, -2)

操作後

PDE y slice fixed linear term = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

PDE y slice fixed square term := mul(2, 4)

操作後

PDE y slice fixed square term = 8

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

PDE y slice constant coefficient := sum(-7, 4, 8)

操作後

PDE y slice constant coefficient = 5

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

PDE y slice cross contribution := mul(1, -2)

操作後

PDE y slice cross contribution = -2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

PDE y slice linear coefficient := sum(2, -2)

操作後

PDE y slice linear coefficient = 0

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

PDE y slice:vary y;fix x=-2;original coefficients=[-7, -2, 2, 2, 1, -2]

操作後

ascending y slice coefficients=[5, 0, -2]

條件：無

先代固定的另一座標，常數、一次與二次項分開收集；沒有讓兩座標一起變動。

步驟識別與依賴

規則：fixed_other_coordinate_before_derivative · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

PDE y partial:g(t)=(5)+(0)*t+(-2)*t^2;point=2;h!=0

操作後

g(2+h)-g(2)=(0)*h+(-2)*(2*(2)*h+h^2)

條件：無

常數項消去，平方項用(z+h)²−z²=2zh+h²展開；此時還沒有代h=0。

步驟識別與依賴

規則：slice_increment_exact_expansion · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

PDE y partial twice quadratic coefficient := mul(2, -2)

操作後

PDE y partial twice quadratic coefficient = -4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · calculation

操作前

PDE y partial derivative point term := mul(-4, 2)

操作後

PDE y partial derivative point term = -8

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

PDE y partial derivative value := sum(0, -8)

操作後

PDE y partial derivative value = -8

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

PDE y partial:h!=0;increment=h*((0)+2*(-2)*(2)+(-2)*h)

操作後

difference quotient=-8+(-2)*h

條件：無

提出完整因子h後才在h非零條件下約去；差商仍有D*h，不把任意有限差分直接等同導數。

步驟識別與依賴

規則：cancel_only_nonzero_increment · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

PDE y partial:quotient=-8+(-2)*h;epsilon>0;delta=epsilon/2

操作後

0<abs(h)<delta gives abs(quotient-(-8))=abs(-2)*abs(h)<epsilon;limit=-8

條件：無

D=0時誤差恆零，任意正delta皆可；否則取epsilon/|D|。這覆蓋所有足夠小的非零正負h，而非抽樣幾個h。

步驟識別與依賴

規則：slice_two_sided_epsilon_delta_limit · 依賴：G001, S026

S028 · calculation

操作前

first order term0 := mul(3, -8)

操作後

first order term0 = -24

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027

S029 · calculation

操作前

first order term1 := mul(-2, -8)

操作後

first order term1 = 16

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028

S030 · calculation

操作前

first order operator sum := sum(-24, 16)

操作後

first order operator sum = -8

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029

S031 · calculation

操作前

first order signed residual := sub(-8, -7)

操作後

first order signed residual = -1

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

query point=[-2, 2];operator value=-8;source=-7;signed residual=-1

操作後

satisfied at declared point=否;no general solution claim

條件：無

此欄回答指定點殘差是否為零。單點通過通常不證全域解，也不給解存在唯一、正則或適定性；全域恆等需另核完整符號殘差。

步驟識別與依賴

規則：PDE_point_obligation_not_global_solution · 依賴：G001, S031

逐步反向核對

  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order signed residual，不以小數近似替代。
  • S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order operator sum，不以小數近似替代。
  • S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order term1，不以小數近似替代。
  • S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first order term0，不以小數近似替代。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y partial derivative value，不以小數近似替代。
  • S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y partial derivative point term，不以小數近似替代。
  • S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice linear coefficient，不以小數近似替代。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice cross contribution，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice constant coefficient，不以小數近似替代。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice fixed square term，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice fixed linear term，不以小數近似替代。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE y slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x partial derivative value，不以小數近似替代。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x partial derivative point term，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x partial twice quadratic coefficient，不以小數近似替代。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice linear coefficient，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice cross contribution，不以小數近似替代。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice constant coefficient，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice fixed square term，不以小數近似替代。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice fixed linear term，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 PDE x slice fixed coordinate squared，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-7, -2, 2, 2, 1, -2], [3, -2], -2, 2, -8, -8, -7, -1, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: e70d47a78c59d9ce28afb0fb773595f5c3cd5c6e321bd5c2dca26ef794f20930
  • candidate record SHA-256: 8554fbe660f30ff6f2d70d3ce3c8861f7886170e8b8a3e3fba10b865e527c438
  • semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac
  • question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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