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第 11685 題：線性PDE切片

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0022-11685 · q-20261013-advance-20261024-r06-partial-differential-equation-0035

原題與已知條件

明示線性PDE算子與係數convention。操作=pde-second-order-point-residual；資料={"coefficients":[-3,2,-1,2,-1,2],"principal":[1,2,2],"source":-3,"x":2,"y":-1}。請依 [coefficients,principal,x,y,u_xx,u_xy,u_yy,source,residual,satisfies_at_point] 欄序回答。

  • G001 — 明示線性PDE算子與係數convention。操作=pde-second-order-point-residual；資料={"coefficients":[-3,2,-1,2,-1,2],"principal":[1,2,2],"source":-3,"x":2,"y":-1}。請依 [coefficients,principal,x,y,u_xx,u_xy,u_yy,source,residual,satisfies_at_point] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

original coefficients=[-3, 2, -1, 2, -1, 2];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2]

操作後

u(x,y)=(-3)+(2)*x+(-1)*y+(2)*x^2+(-1)*x*y+(2)*y^2

條件：無

六個係數按固定單項式順序讀，不與單變量二次式的[a,b,c]降冪次序混用。

步驟識別與依賴

規則：bivariate_scalar_polynomial_basis_roles · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

u_xx constant := mul(2, 2)

操作後

u_xx constant = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

u_yy constant := mul(2, 2)

操作後

u_yy constant = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

u coefficients=[-3, 2, -1, 2, -1, 2];u_x=c1+2*c3*x+c4*y;u_y=c2+c4*x+2*c5*y

操作後

u_xx=4;u_xy=-1;u_yy=4

條件：無

以固定另一座標的切片規則逐項微分：x的一次項再微分成常數，xy交叉項只貢獻c4；這是多項式恆等式，不是由一般混偏導交換假設。

步驟識別與依賴

規則：polynomial_second_partials_explicit_monomials · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

principal=[1, 2, 2];point=[2, -1]

操作後

operator=a*u_xx+b*u_xy+c*u_yy;not 2*b*u_xy

條件：無

固定混合項就是b*u_xy，不擅自改成常見另一慣例2b*u_xy；即使二階值在本多項式為常數，也保留題目的點角色。

步驟識別與依賴

規則：second_order_declared_mixed_term · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

second order term0 := mul(1, 4)

操作後

second order term0 = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

second order term1 := mul(2, -1)

操作後

second order term1 = -2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

second order term2 := mul(2, 4)

操作後

second order term2 = 8

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

second order operator sum := sum(4, -2, 8)

操作後

second order operator sum = 10

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

second order signed residual := sub(10, -3)

操作後

second order signed residual = 13

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

query point=[2, -1];operator value=10;source=-3;signed residual=13

操作後

satisfied at declared point=否;no general solution claim

條件：無

此欄回答指定點殘差是否為零。單點通過通常不證全域解，也不給解存在唯一、正則或適定性；全域恆等需另核完整符號殘差。

步驟識別與依賴

規則：PDE_point_obligation_not_global_solution · 依賴：G001, S010

逐步反向核對

  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second order signed residual，不以小數近似替代。
  • S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second order operator sum，不以小數近似替代。
  • S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second order term2，不以小數近似替代。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second order term1，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second order term0，不以小數近似替代。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u_yy constant，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u_xx constant，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-3, 2, -1, 2, -1, 2], [1, 2, 2], 2, -1, 4, -1, 4, -3, 13, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: e8ca9e3eb308f9c15cf6045dde07da012a146e5c9cea8d2597e1487ec28549b5
  • candidate record SHA-256: 9562a3fc3f65fdee9e98c29abc482626b686fbc565737486f25f311a64ef0a45
  • semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac
  • question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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