R0022-11893 · q-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-0068
函數必須配合明示凸定義域。操作=convexfn-quadratic-universal-certificate；資料={"coefficients":[1,5,0],"interval":[-19,20]}。請依 [coefficients,interval,nondegenerate,leading_coefficient,jensen_gap_formula,convex] 欄序回答。
G001 — 函數必須配合明示凸定義域。操作=convexfn-quadratic-universal-certificate；資料={"coefficients":[1,5,0],"interval":[-19,20]}。請依 [coefficients,interval,nondegenerate,leading_coefficient,jensen_gap_formula,convex] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
declared interval record=[-19, 20]
操作後
ordered_nonempty=是;nondegenerate=是
條件：無
此非空區間協定用lower≤upper，非退化證書另需lower<upper。反向紀錄只是資格不合，不是把抽象空集判成非凸；單點區間本身仍凸。
規則：interval_certificate_qualification_not_empty_set_nonconvexity · 依賴：G001
操作前
arbitrary x,y in [-19,20];0<=lambda<=1;z=lambda*x+(1-lambda)*y
操作後
z--19=lambda*(x--19)+(1-lambda)*(y--19)>=0;20-z=lambda*(20-x)+(1-lambda)*(20-y)>=0
條件：無
兩個差額均是非負和，故lower≤z≤upper，對每對端點及每個lambda都成立，不用抽樣；端點和單點情況包含在內。
規則：interval_all_segments_slack_identity · 依賴：G001, S001
操作前
univariate quadratic coefficients=[1, 5, 0];order=[a,b,c]
操作後
f(t)=(1)*t^2+(5)*t+(0)
條件：無
這裡按二次、一次、常數降冪排列，不是邊界限制多項式的常數在前次序；零首項保留。
規則：quadratic_descending_coefficient_order · 依賴：G001, S002
操作前
f(t)=(1)*t^2+(5)*t+(0);z=lambda*x+(1-lambda)*y
操作後
rhs-lhs=(1)*(lambda*x^2+(1-lambda)*y^2-(lambda*x+(1-lambda)*y)^2)
條件：無
先展開Jensen兩邊，因權重和1，一次與常數項完全消去，只剩二次部分。
規則：jensen_linear_and_constant_terms_cancel · 依賴：G001, S003
操作前
lambda*x^2+(1-lambda)*y^2-(lambda*x+(1-lambda)*y)^2
操作後
lambda*(1-lambda)*(x-y)^2;full gap=(1)*lambda*(1-lambda)*(x-y)^2
條件：無
展開平方再收集x²、xy、y²，分別得到lambda(1−lambda)、−2lambda(1−lambda)、lambda(1−lambda)，故是(x−y)²倍數，覆蓋所有實數端點。
規則：jensen_gap_full_symbolic_factorization · 依賴：G001, S004
操作前
interval=[-19, 20];nondegenerate=是;leading=1
操作後
qualified universal quadratic certificate=是
條件：無
若a≥0，lambda(1−lambda)與平方皆非負，故所有Jensen差非負。此題證書另要求非退化；單點或反向紀錄的No不是函數在單點上非凸。
規則：quadratic_global_sign_and_nondegenerate_guard · 依賴：G001, S005
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([1, 5, 0], [-19, 20], 是, 1, rhs-lhs=a*lambda*(1-lambda)*(x-y)^2, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 46f96405afaddbb21d3bcd8b0b2d2e27a5b595d702898a105071c1b42efc6c55candidate record SHA-256: 1f631e1f911759f8b02a9bbd437960941af98e57b3801434528f1cf254229b47semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8facquestion-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01bLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED