R0022-11855 · q-20261013-advance-20261025-r02-convex-function-0080
函數必須配合明示凸定義域。操作=convexfn-jensen-instance-audit；資料={"coefficients":[0,-8,1],"interval":[-5,5],"x":[2,1],"y":[1,1],"lambda":[5,7]}。請依 [coefficients,interval,x,y,lambda,point,lhs,rhs,gap,passes,scope] 欄序回答。
G001 — 函數必須配合明示凸定義域。操作=convexfn-jensen-instance-audit；資料={"coefficients":[0,-8,1],"interval":[-5,5],"x":[2,1],"y":[1,1],"lambda":[5,7]}。請依 [coefficients,interval,x,y,lambda,point,lhs,rhs,gap,passes,scope] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
declared interval record=[-5, 5]
操作後
ordered_nonempty=是;nondegenerate=是
條件：無
此非空區間協定用lower≤upper，非退化證書另需lower<upper。反向紀錄只是資格不合，不是把抽象空集判成非凸；單點區間本身仍凸。
規則：interval_certificate_qualification_not_empty_set_nonconvexity · 依賴：G001
操作前
arbitrary x,y in [-5,5];0<=lambda<=1;z=lambda*x+(1-lambda)*y
操作後
z--5=lambda*(x--5)+(1-lambda)*(y--5)>=0;5-z=lambda*(5-x)+(1-lambda)*(5-y)>=0
條件：無
兩個差額均是非負和，故lower≤z≤upper，對每對端點及每個lambda都成立，不用抽樣；端點和單點情況包含在內。
規則：interval_all_segments_slack_identity · 依賴：G001, S001
操作前
univariate quadratic coefficients=[0, -8, 1];order=[a,b,c]
操作後
f(t)=(0)*t^2+(-8)*t+(1)
條件：無
這裡按二次、一次、常數降冪排列，不是邊界限制多項式的常數在前次序；零首項保留。
規則：quadratic_descending_coefficient_order · 依賴：G001, S002
操作前
f(t)=(0)*t^2+(-8)*t+(1);z=lambda*x+(1-lambda)*y
操作後
rhs-lhs=(0)*(lambda*x^2+(1-lambda)*y^2-(lambda*x+(1-lambda)*y)^2)
條件：無
先展開Jensen兩邊，因權重和1，一次與常數項完全消去，只剩二次部分。
規則：jensen_linear_and_constant_terms_cancel · 依賴：G001, S003
操作前
lambda*x^2+(1-lambda)*y^2-(lambda*x+(1-lambda)*y)^2
操作後
lambda*(1-lambda)*(x-y)^2;full gap=(0)*lambda*(1-lambda)*(x-y)^2
條件：無
展開平方再收集x²、xy、y²，分別得到lambda(1−lambda)、−2lambda(1−lambda)、lambda(1−lambda)，故是(x−y)²倍數，覆蓋所有實數端點。
規則：jensen_gap_full_symbolic_factorization · 依賴：G001, S004
操作前
Jensen complementary weight := sub(1, 5/7)
操作後
Jensen complementary weight = 2/7
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Jensen weighted x := mul(5/7, 2)
操作後
Jensen weighted x = 10/7
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Jensen weighted y := mul(2/7, 1)
操作後
Jensen weighted y = 2/7
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
Jensen weighted input := sum(10/7, 2/7)
操作後
Jensen weighted input = 12/7
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
Jensen lhs point squared := mul(12/7, 12/7)
操作後
Jensen lhs point squared = 144/49
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
Jensen lhs quadratic term := mul(0, 144/49)
操作後
Jensen lhs quadratic term = 0
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
Jensen lhs linear term := mul(-8, 12/7)
操作後
Jensen lhs linear term = -96/7
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
Jensen lhs polynomial value := sum(0, -96/7, 1)
操作後
Jensen lhs polynomial value = -89/7
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
Jensen left endpoint point squared := mul(2, 2)
操作後
Jensen left endpoint point squared = 4
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
Jensen left endpoint quadratic term := mul(0, 4)
操作後
Jensen left endpoint quadratic term = 0
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
Jensen left endpoint linear term := mul(-8, 2)
操作後
Jensen left endpoint linear term = -16
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
Jensen left endpoint polynomial value := sum(0, -16, 1)
操作後
Jensen left endpoint polynomial value = -15
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
Jensen right endpoint point squared := mul(1, 1)
操作後
Jensen right endpoint point squared = 1
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
Jensen right endpoint quadratic term := mul(0, 1)
操作後
Jensen right endpoint quadratic term = 0
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
Jensen right endpoint linear term := mul(-8, 1)
操作後
Jensen right endpoint linear term = -8
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019
操作前
Jensen right endpoint polynomial value := sum(0, -8, 1)
操作後
Jensen right endpoint polynomial value = -7
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020
操作前
Jensen weighted left value := mul(5/7, -15)
操作後
Jensen weighted left value = -75/7
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
Jensen weighted right value := mul(2/7, -7)
操作後
Jensen weighted right value = -2
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022
操作前
Jensen rhs := sum(-75/7, -2)
操作後
Jensen rhs = -89/7
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023
操作前
Jensen rhs minus lhs := sub(-89/7, -89/7)
操作後
Jensen rhs minus lhs = 0
條件：無
依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024
操作前
qualified x=2;y=1;lambda=5/7;lhs=-89/7;rhs=-89/7;gap=0
操作後
Jensen instance passes=是;scope=single_instance_only
條件：無
負差給一個合法端點與權重的反例即足以否證；非負只通過這一例，尤其lambda=0或x=y可使非凸二次式也通過。
規則：one_Jensen_instance_not_universal_positive_proof · 依賴：G001, S025
S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen rhs minus lhs，不以小數近似替代。S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen rhs，不以小數近似替代。S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen weighted right value，不以小數近似替代。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen weighted left value，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen right endpoint polynomial value，不以小數近似替代。S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen right endpoint linear term，不以小數近似替代。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen right endpoint quadratic term，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen right endpoint point squared，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen left endpoint polynomial value，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen left endpoint linear term，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen left endpoint quadratic term，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen left endpoint point squared，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen lhs polynomial value，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen lhs linear term，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen lhs quadratic term，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen lhs point squared，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen weighted input，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen weighted y，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen weighted x，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Jensen complementary weight，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([0, -8, 1], [-5, 5], 2, 1, 5/7, 12/7, -89/7, -89/7, 0, 是, single_instance_only)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 54234f9cb4131defb4e90bd9ffcfb588d245bdb2ae95dda51b57d079caeac2efcandidate record SHA-256: 04b8d92149e1d0937e85929528953969bdaa234be6705c908548643451322787semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8facquestion-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01bLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED