S001 · calculation
操作前
epsilon reciprocal threshold := div(3, 1)
操作後
epsilon reciprocal threshold = 3
條件：無
依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001
第 12151 題：Cauchy序列
R0023-12151 · q-20261013-advance-20261026-r03-cauchy-sequence-0051
原題與已知條件
保留forall epsilon exists N forall m,n>=N。操作=cauchy-reciprocal-epsilon-witness；資料={"shift":1,"epsilon":[1,3]}。請依 [shift,epsilon,N,bound,witness,cauchy_for_epsilon] 欄序回答。
G001— 保留forall epsilon exists N forall m,n>=N。操作=cauchy-reciprocal-epsilon-witness；資料={"shift":1,"epsilon":[1,3]}。請依 [shift,epsilon,N,bound,witness,cauchy_for_epsilon] 欄序回答。
定義與適用範圍
沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
逐步推導
S002 · implies
操作前
positive epsilon=1/3;reciprocal threshold=3
操作後
floor threshold=3;3*1<=3<(3+1)*1
條件：無
1/(N+shift)<a/b等價於N+shift>b/a，因a及分母皆正；先取精確下整數以處理嚴格邊界。
步驟識別與依賴
規則：exact_integer_threshold_floor · 依賴：G001, S001
S003 · calculation
操作前
unclamped reciprocal cutoff := sum(3, -1, 1)
操作後
unclamped reciprocal cutoff = 3
條件：無
依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
S004 · calculation
操作前
reciprocal tail bound denominator := sum(3, 1)
操作後
reciprocal tail bound denominator = 4
條件：無
依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
S005 · calculation
操作前
reciprocal tail bound := div(1, 4)
操作後
reciprocal tail bound = 1/4
條件：無
依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
S006 · calculation
操作前
previous cutoff denominator := sum(2, 1)
操作後
previous cutoff denominator = 3
條件：無
依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
S007 · calculation
操作前
previous cutoff bound := div(1, 3)
操作後
previous cutoff bound = 1/3
條件：無
依指定原始角色及已算中間量精確運算，不替換模型、重排配對或以近似數判斷。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
S008 · implies
操作前
N=3;bound=1/4;previous bound=1/3;epsilon=1/3
操作後
current bound is strict;previous cutoff fails;N is least nonnegative
條件：無
正倒數隨索引遞減，前一門檻仍≥epsilon，故所有更小非負索引都失敗；保留等號失敗情況。
步驟識別與依賴
規則：reciprocal_least_cutoff_strict_boundary · 依賴：G001, S007
S009 · implies
操作前
explicit x_n=1/(n+1);N=3;bound=1/4<epsilon=1/3
操作後
all m,n>=N:both terms in[0,bound],so distance<=bound<epsilon
條件：無
任意兩個尾項都介於0與界之間，故距離至多該界。門檻公式對任意正epsilon可構造；輸出欄只證本次選定epsilon的明示模型。
步驟識別與依賴
規則：reciprocal_all_tail_pairs_not_samples · 依賴：G001, S008
逐步反向核對
S009· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 previous cutoff bound，不以小數近似替代。S006· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 previous cutoff denominator，不以小數近似替代。S005· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reciprocal tail bound，不以小數近似替代。S004· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reciprocal tail bound denominator，不以小數近似替代。S003· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 unclamped reciprocal cutoff，不以小數近似替代。S002· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 epsilon reciprocal threshold，不以小數近似替代。
結論
(1, 1/3, 3, 1/4, m,n>=N implies distance<=1/(N+shift)<epsilon, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
本題覆核與來源綁定
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
來源雜湊與覆核憑證
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: a7047641e2beb3509ffc632a488dab68ab1817034bf4ee75e5765281fea2ab5acandidate record SHA-256: b4b4cd45be65965ddf205314a6f53a4bed8729c2e0e028cb10b3421bb8bb8071semantic review receipt SHA-256: f783e81f44ff0faa13dbf948657e9187244a59a809ebdf96f22cca24966649ffquestion-first witness SHA-256: 49a50ed0550be55124d6562260c2ccf4fa6d3f316d7ad9d0d32174400e362e18Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED