第 12242 題：協方差

原題與已知條件

協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-compute；資料={"support":[[4,-1],[5,0],[6,1],[7,3]],"masses":[[1,8],[1,4],[1,8],[1,2]]}。請依 [E_X,E_Y,E_XY,covariance] 欄序回答。

• G001 — 協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-compute；資料={"support":[[4,-1],[5,0],[6,1],[7,3]],"masses":[[1,8],[1,4],[1,8],[1,2]]}。請依 [E_X,E_Y,E_XY,covariance] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-covariance

逐步推導

joint law total mass := sum(1/8, 1/4, 1/8, 1/2)

joint law total mass = 1

original distinct joint pairs=[[4, -1], [5, 0], [6, 1], [7, 3]];raw aligned masses=[[1, 8], [1, 4], [1, 8], [1, 2]]

normalized aligned masses=[1/8, 1/4, 1/8, 1/2];nonnegative=是;total=1

original atom0 weighted X := mul(1/8, 4)

original atom0 weighted X = 1/2

original atom0 weighted Y := mul(1/8, -1)

original atom0 weighted Y = -1/8

original atom0 XY := mul(4, -1)

original atom0 XY = -4

original atom0 weighted XY := mul(1/8, -4)

original atom0 weighted XY = -1/2

original atom1 weighted X := mul(1/4, 5)

original atom1 weighted X = 5/4

original atom1 weighted Y := mul(1/4, 0)

original atom1 weighted Y = 0

original atom1 XY := mul(5, 0)

original atom1 XY = 0

original atom1 weighted XY := mul(1/4, 0)

original atom1 weighted XY = 0

original atom2 weighted X := mul(1/8, 6)

original atom2 weighted X = 3/4

original atom2 weighted Y := mul(1/8, 1)

original atom2 weighted Y = 1/8

original atom2 XY := mul(6, 1)

original atom2 XY = 6

original atom2 weighted XY := mul(1/8, 6)

original atom2 weighted XY = 3/4

original atom3 weighted X := mul(1/2, 7)

original atom3 weighted X = 7/2

original atom3 weighted Y := mul(1/2, 3)

original atom3 weighted Y = 3/2

original atom3 XY := mul(7, 3)

original atom3 XY = 21

original atom3 weighted XY := mul(1/2, 21)

original atom3 weighted XY = 21/2

original E_X := sum(1/2, 5/4, 3/4, 7/2)

original E_X = 6

original E_Y := sum(-1/8, 0, 1/8, 3/2)

original E_Y = 3/2

original E_XY := sum(-1/2, 0, 3/4, 21/2)

original E_XY = 43/4

original product of means := mul(6, 3/2)

original product of means = 9

original covariance := sub(43/4, 9)

original covariance = 7/4

original:E_X=6;E_Y=3/2;E_XY=43/4

Cov=E_XY-E_X*E_Y=7/4

逐步反向核對

• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original covariance，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product of means，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_XY，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_Y，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_X，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted XY，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 XY，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted Y，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted X，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted XY，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 XY，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted Y，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted X，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 XY，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted X，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 XY，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted X，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint law total mass，不以小數近似替代。

結論

(6, 3/2, 43/4, 7/4)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。