第 12275 題：協方差

原題與已知條件

協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-symmetry；資料={"support":[[12,-1],[13,0],[14,1],[15,6]],"masses":[[1,8],[1,4],[1,8],[1,2]]}。請依 [Cov_XY,Cov_YX,equal] 欄序回答。

• G001 — 協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-symmetry；資料={"support":[[12,-1],[13,0],[14,1],[15,6]],"masses":[[1,8],[1,4],[1,8],[1,2]]}。請依 [Cov_XY,Cov_YX,equal] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-covariance

逐步推導

joint law total mass := sum(1/8, 1/4, 1/8, 1/2)

joint law total mass = 1

original distinct joint pairs=[[12, -1], [13, 0], [14, 1], [15, 6]];raw aligned masses=[[1, 8], [1, 4], [1, 8], [1, 2]]

normalized aligned masses=[1/8, 1/4, 1/8, 1/2];nonnegative=是;total=1

original atom0 weighted X := mul(1/8, 12)

original atom0 weighted X = 3/2

original atom0 weighted Y := mul(1/8, -1)

original atom0 weighted Y = -1/8

original atom0 XY := mul(12, -1)

original atom0 XY = -12

original atom0 weighted XY := mul(1/8, -12)

original atom0 weighted XY = -3/2

original atom1 weighted X := mul(1/4, 13)

original atom1 weighted X = 13/4

original atom1 weighted Y := mul(1/4, 0)

original atom1 weighted Y = 0

original atom1 XY := mul(13, 0)

original atom1 XY = 0

original atom1 weighted XY := mul(1/4, 0)

original atom1 weighted XY = 0

original atom2 weighted X := mul(1/8, 14)

original atom2 weighted X = 7/4

original atom2 weighted Y := mul(1/8, 1)

original atom2 weighted Y = 1/8

original atom2 XY := mul(14, 1)

original atom2 XY = 14

original atom2 weighted XY := mul(1/8, 14)

original atom2 weighted XY = 7/4

original atom3 weighted X := mul(1/2, 15)

original atom3 weighted X = 15/2

original atom3 weighted Y := mul(1/2, 6)

original atom3 weighted Y = 3

original atom3 XY := mul(15, 6)

original atom3 XY = 90

original atom3 weighted XY := mul(1/2, 90)

original atom3 weighted XY = 45

original E_X := sum(3/2, 13/4, 7/4, 15/2)

original E_X = 14

original E_Y := sum(-1/8, 0, 1/8, 3)

original E_Y = 3

original E_XY := sum(-3/2, 0, 7/4, 45)

original E_XY = 181/4

original product of means := mul(14, 3)

original product of means = 42

original covariance := sub(181/4, 42)

original covariance = 13/4

original:E_X=14;E_Y=3;E_XY=181/4

Cov=E_XY-E_X*E_Y=13/4

swapped atom0 weighted X := mul(1/8, -1)

swapped atom0 weighted X = -1/8

swapped atom0 weighted Y := mul(1/8, 12)

swapped atom0 weighted Y = 3/2

swapped atom0 XY := mul(-1, 12)

swapped atom0 XY = -12

swapped atom0 weighted XY := mul(1/8, -12)

swapped atom0 weighted XY = -3/2

swapped atom1 weighted X := mul(1/4, 0)

swapped atom1 weighted X = 0

swapped atom1 weighted Y := mul(1/4, 13)

swapped atom1 weighted Y = 13/4

swapped atom1 XY := mul(0, 13)

swapped atom1 XY = 0

swapped atom1 weighted XY := mul(1/4, 0)

swapped atom1 weighted XY = 0

swapped atom2 weighted X := mul(1/8, 1)

swapped atom2 weighted X = 1/8

swapped atom2 weighted Y := mul(1/8, 14)

swapped atom2 weighted Y = 7/4

swapped atom2 XY := mul(1, 14)

swapped atom2 XY = 14

swapped atom2 weighted XY := mul(1/8, 14)

swapped atom2 weighted XY = 7/4

swapped atom3 weighted X := mul(1/2, 6)

swapped atom3 weighted X = 3

swapped atom3 weighted Y := mul(1/2, 15)

swapped atom3 weighted Y = 15/2

swapped atom3 XY := mul(6, 15)

swapped atom3 XY = 90

swapped atom3 weighted XY := mul(1/2, 90)

swapped atom3 weighted XY = 45

swapped E_X := sum(-1/8, 0, 1/8, 3)

swapped E_X = 3

swapped E_Y := sum(3/2, 13/4, 7/4, 15/2)

swapped E_Y = 14

swapped E_XY := sum(-3/2, 0, 7/4, 45)

swapped E_XY = 181/4

swapped product of means := mul(3, 14)

swapped product of means = 42

swapped covariance := sub(181/4, 42)

swapped covariance = 13/4

swapped:E_X=3;E_Y=14;E_XY=181/4

Cov=E_XY-E_X*E_Y=13/4

original covariance=13/4;swapped covariance=13/4

equal by XY=YX and E_X*E_Y=E_Y*E_X

逐步反向核對

• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped covariance，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped product of means，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped E_XY，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped E_Y，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped E_X，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom3 weighted XY，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom3 XY，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom3 weighted Y，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom3 weighted X，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom2 weighted XY，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom2 XY，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom2 weighted Y，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom2 weighted X，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom1 XY，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom1 weighted X，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom0 XY，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 swapped atom0 weighted X，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original covariance，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product of means，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_XY，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_Y，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_X，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted XY，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 XY，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted Y，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted X，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted XY，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 XY，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted Y，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted X，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 XY，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted X，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 XY，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted X，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint law total mass，不以小數近似替代。

結論

(13/4, 13/4, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。