第 12201 題：協方差

原題與已知條件

協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-affine；資料={"support":[[-12,-1],[-11,0],[-10,1],[-9,2]],"masses":[[1,8],[1,4],[1,8],[1,2]],"a":-3,"b":-12,"c":-2,"d":12}。請依 [a,b,c,d,covariance,transformed_covariance,identity] 欄序回答。

• G001 — 協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-affine；資料={"support":[[-12,-1],[-11,0],[-10,1],[-9,2]],"masses":[[1,8],[1,4],[1,8],[1,2]],"a":-3,"b":-12,"c":-2,"d":12}。請依 [a,b,c,d,covariance,transformed_covariance,identity] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-covariance

逐步推導

joint law total mass := sum(1/8, 1/4, 1/8, 1/2)

joint law total mass = 1

original distinct joint pairs=[[-12, -1], [-11, 0], [-10, 1], [-9, 2]];raw aligned masses=[[1, 8], [1, 4], [1, 8], [1, 2]]

normalized aligned masses=[1/8, 1/4, 1/8, 1/2];nonnegative=是;total=1

original atom0 weighted X := mul(1/8, -12)

original atom0 weighted X = -3/2

original atom0 weighted Y := mul(1/8, -1)

original atom0 weighted Y = -1/8

original atom0 XY := mul(-12, -1)

original atom0 XY = 12

original atom0 weighted XY := mul(1/8, 12)

original atom0 weighted XY = 3/2

original atom1 weighted X := mul(1/4, -11)

original atom1 weighted X = -11/4

original atom1 weighted Y := mul(1/4, 0)

original atom1 weighted Y = 0

original atom1 XY := mul(-11, 0)

original atom1 XY = 0

original atom1 weighted XY := mul(1/4, 0)

original atom1 weighted XY = 0

original atom2 weighted X := mul(1/8, -10)

original atom2 weighted X = -5/4

original atom2 weighted Y := mul(1/8, 1)

original atom2 weighted Y = 1/8

original atom2 XY := mul(-10, 1)

original atom2 XY = -10

original atom2 weighted XY := mul(1/8, -10)

original atom2 weighted XY = -5/4

original atom3 weighted X := mul(1/2, -9)

original atom3 weighted X = -9/2

original atom3 weighted Y := mul(1/2, 2)

original atom3 weighted Y = 1

original atom3 XY := mul(-9, 2)

original atom3 XY = -18

original atom3 weighted XY := mul(1/2, -18)

original atom3 weighted XY = -9

original E_X := sum(-3/2, -11/4, -5/4, -9/2)

original E_X = -10

original E_Y := sum(-1/8, 0, 1/8, 1)

original E_Y = 1

original E_XY := sum(3/2, 0, -5/4, -9)

original E_XY = -35/4

original product of means := mul(-10, 1)

original product of means = -10

original covariance := sub(-35/4, -10)

original covariance = 5/4

original:E_X=-10;E_Y=1;E_XY=-35/4

Cov=E_XY-E_X*E_Y=5/4

affine atom0 scaled X := mul(-3, -12)

affine atom0 scaled X = 36

affine atom0 U := sum(36, -12)

affine atom0 U = 24

affine atom0 scaled Y := mul(-2, -1)

affine atom0 scaled Y = 2

affine atom0 V := sum(2, 12)

affine atom0 V = 14

affine atom1 scaled X := mul(-3, -11)

affine atom1 scaled X = 33

affine atom1 U := sum(33, -12)

affine atom1 U = 21

affine atom1 scaled Y := mul(-2, 0)

affine atom1 scaled Y = 0

affine atom1 V := sum(0, 12)

affine atom1 V = 12

affine atom2 scaled X := mul(-3, -10)

affine atom2 scaled X = 30

affine atom2 U := sum(30, -12)

affine atom2 U = 18

affine atom2 scaled Y := mul(-2, 1)

affine atom2 scaled Y = -2

affine atom2 V := sum(-2, 12)

affine atom2 V = 10

affine atom3 scaled X := mul(-3, -9)

affine atom3 scaled X = 27

affine atom3 U := sum(27, -12)

affine atom3 U = 15

affine atom3 scaled Y := mul(-2, 2)

affine atom3 scaled Y = -4

affine atom3 V := sum(-4, 12)

affine atom3 V = 8

affine transformed atom0 weighted X := mul(1/8, 24)

affine transformed atom0 weighted X = 3

affine transformed atom0 weighted Y := mul(1/8, 14)

affine transformed atom0 weighted Y = 7/4

affine transformed atom0 XY := mul(24, 14)

affine transformed atom0 XY = 336

affine transformed atom0 weighted XY := mul(1/8, 336)

affine transformed atom0 weighted XY = 42

affine transformed atom1 weighted X := mul(1/4, 21)

affine transformed atom1 weighted X = 21/4

affine transformed atom1 weighted Y := mul(1/4, 12)

affine transformed atom1 weighted Y = 3

affine transformed atom1 XY := mul(21, 12)

affine transformed atom1 XY = 252

affine transformed atom1 weighted XY := mul(1/4, 252)

affine transformed atom1 weighted XY = 63

affine transformed atom2 weighted X := mul(1/8, 18)

affine transformed atom2 weighted X = 9/4

affine transformed atom2 weighted Y := mul(1/8, 10)

affine transformed atom2 weighted Y = 5/4

affine transformed atom2 XY := mul(18, 10)

affine transformed atom2 XY = 180

affine transformed atom2 weighted XY := mul(1/8, 180)

affine transformed atom2 weighted XY = 45/2

affine transformed atom3 weighted X := mul(1/2, 15)

affine transformed atom3 weighted X = 15/2

affine transformed atom3 weighted Y := mul(1/2, 8)

affine transformed atom3 weighted Y = 4

affine transformed atom3 XY := mul(15, 8)

affine transformed atom3 XY = 120

affine transformed atom3 weighted XY := mul(1/2, 120)

affine transformed atom3 weighted XY = 60

affine transformed E_X := sum(3, 21/4, 9/4, 15/2)

affine transformed E_X = 18

affine transformed E_Y := sum(7/4, 3, 5/4, 4)

affine transformed E_Y = 10

affine transformed E_XY := sum(42, 63, 45/2, 60)

affine transformed E_XY = 375/2

affine transformed product of means := mul(18, 10)

affine transformed product of means = 180

affine transformed covariance := sub(375/2, 180)

affine transformed covariance = 15/2

affine transformed:E_X=18;E_Y=10;E_XY=375/2

Cov=E_XY-E_X*E_Y=15/2

affine two scale product := mul(-3, -2)

affine two scale product = 6

affine scaled original covariance := mul(6, 5/4)

affine scaled original covariance = 15/2

U=(-3)*X+(-12);V=(-2)*Y+(12);same indexed atoms and weights

E_UV-E_U*E_V=(-3)*(-2)*(E_XY-E_X*E_Y)=15/2

逐步反向核對

• S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine scaled original covariance，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine two scale product，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed covariance，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed product of means，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed E_XY，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed E_Y，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed E_X，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom3 weighted XY，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom3 XY，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom3 weighted Y，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom3 weighted X，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom2 weighted XY，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom2 XY，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom2 weighted Y，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom2 weighted X，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom1 XY，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom1 weighted X，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom0 XY，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom0 weighted X，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom3 V，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom3 scaled Y，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom3 U，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom3 scaled X，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom2 V，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom2 scaled Y，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom2 U，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom2 scaled X，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom1 V，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom1 scaled Y，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom1 U，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom1 scaled X，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom0 V，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom0 scaled Y，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom0 U，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom0 scaled X，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original covariance，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product of means，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_XY，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_Y，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_X，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted XY，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 XY，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted Y，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted X，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted XY，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 XY，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted Y，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted X，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 XY，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted X，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 XY，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted X，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint law total mass，不以小數近似替代。

結論

(-3, -12, -2, 12, 5/4, 15/2, Cov(aX+b,cY+d)=ac Cov(X,Y))

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。