第 12220 題：協方差

原題與已知條件

協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-affine；資料={"support":[[7,-1],[8,0],[9,1],[10,6]],"masses":[[1,8],[1,4],[1,8],[1,2]],"a":2,"b":7,"c":2,"d":-7}。請依 [a,b,c,d,covariance,transformed_covariance,identity] 欄序回答。

• G001 — 協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-affine；資料={"support":[[7,-1],[8,0],[9,1],[10,6]],"masses":[[1,8],[1,4],[1,8],[1,2]],"a":2,"b":7,"c":2,"d":-7}。請依 [a,b,c,d,covariance,transformed_covariance,identity] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-covariance

逐步推導

joint law total mass := sum(1/8, 1/4, 1/8, 1/2)

joint law total mass = 1

original distinct joint pairs=[[7, -1], [8, 0], [9, 1], [10, 6]];raw aligned masses=[[1, 8], [1, 4], [1, 8], [1, 2]]

normalized aligned masses=[1/8, 1/4, 1/8, 1/2];nonnegative=是;total=1

original atom0 weighted X := mul(1/8, 7)

original atom0 weighted X = 7/8

original atom0 weighted Y := mul(1/8, -1)

original atom0 weighted Y = -1/8

original atom0 XY := mul(7, -1)

original atom0 XY = -7

original atom0 weighted XY := mul(1/8, -7)

original atom0 weighted XY = -7/8

original atom1 weighted X := mul(1/4, 8)

original atom1 weighted X = 2

original atom1 weighted Y := mul(1/4, 0)

original atom1 weighted Y = 0

original atom1 XY := mul(8, 0)

original atom1 XY = 0

original atom1 weighted XY := mul(1/4, 0)

original atom1 weighted XY = 0

original atom2 weighted X := mul(1/8, 9)

original atom2 weighted X = 9/8

original atom2 weighted Y := mul(1/8, 1)

original atom2 weighted Y = 1/8

original atom2 XY := mul(9, 1)

original atom2 XY = 9

original atom2 weighted XY := mul(1/8, 9)

original atom2 weighted XY = 9/8

original atom3 weighted X := mul(1/2, 10)

original atom3 weighted X = 5

original atom3 weighted Y := mul(1/2, 6)

original atom3 weighted Y = 3

original atom3 XY := mul(10, 6)

original atom3 XY = 60

original atom3 weighted XY := mul(1/2, 60)

original atom3 weighted XY = 30

original E_X := sum(7/8, 2, 9/8, 5)

original E_X = 9

original E_Y := sum(-1/8, 0, 1/8, 3)

original E_Y = 3

original E_XY := sum(-7/8, 0, 9/8, 30)

original E_XY = 121/4

original product of means := mul(9, 3)

original product of means = 27

original covariance := sub(121/4, 27)

original covariance = 13/4

original:E_X=9;E_Y=3;E_XY=121/4

Cov=E_XY-E_X*E_Y=13/4

affine atom0 scaled X := mul(2, 7)

affine atom0 scaled X = 14

affine atom0 U := sum(14, 7)

affine atom0 U = 21

affine atom0 scaled Y := mul(2, -1)

affine atom0 scaled Y = -2

affine atom0 V := sum(-2, -7)

affine atom0 V = -9

affine atom1 scaled X := mul(2, 8)

affine atom1 scaled X = 16

affine atom1 U := sum(16, 7)

affine atom1 U = 23

affine atom1 scaled Y := mul(2, 0)

affine atom1 scaled Y = 0

affine atom1 V := sum(0, -7)

affine atom1 V = -7

affine atom2 scaled X := mul(2, 9)

affine atom2 scaled X = 18

affine atom2 U := sum(18, 7)

affine atom2 U = 25

affine atom2 scaled Y := mul(2, 1)

affine atom2 scaled Y = 2

affine atom2 V := sum(2, -7)

affine atom2 V = -5

affine atom3 scaled X := mul(2, 10)

affine atom3 scaled X = 20

affine atom3 U := sum(20, 7)

affine atom3 U = 27

affine atom3 scaled Y := mul(2, 6)

affine atom3 scaled Y = 12

affine atom3 V := sum(12, -7)

affine atom3 V = 5

affine transformed atom0 weighted X := mul(1/8, 21)

affine transformed atom0 weighted X = 21/8

affine transformed atom0 weighted Y := mul(1/8, -9)

affine transformed atom0 weighted Y = -9/8

affine transformed atom0 XY := mul(21, -9)

affine transformed atom0 XY = -189

affine transformed atom0 weighted XY := mul(1/8, -189)

affine transformed atom0 weighted XY = -189/8

affine transformed atom1 weighted X := mul(1/4, 23)

affine transformed atom1 weighted X = 23/4

affine transformed atom1 weighted Y := mul(1/4, -7)

affine transformed atom1 weighted Y = -7/4

affine transformed atom1 XY := mul(23, -7)

affine transformed atom1 XY = -161

affine transformed atom1 weighted XY := mul(1/4, -161)

affine transformed atom1 weighted XY = -161/4

affine transformed atom2 weighted X := mul(1/8, 25)

affine transformed atom2 weighted X = 25/8

affine transformed atom2 weighted Y := mul(1/8, -5)

affine transformed atom2 weighted Y = -5/8

affine transformed atom2 XY := mul(25, -5)

affine transformed atom2 XY = -125

affine transformed atom2 weighted XY := mul(1/8, -125)

affine transformed atom2 weighted XY = -125/8

affine transformed atom3 weighted X := mul(1/2, 27)

affine transformed atom3 weighted X = 27/2

affine transformed atom3 weighted Y := mul(1/2, 5)

affine transformed atom3 weighted Y = 5/2

affine transformed atom3 XY := mul(27, 5)

affine transformed atom3 XY = 135

affine transformed atom3 weighted XY := mul(1/2, 135)

affine transformed atom3 weighted XY = 135/2

affine transformed E_X := sum(21/8, 23/4, 25/8, 27/2)

affine transformed E_X = 25

affine transformed E_Y := sum(-9/8, -7/4, -5/8, 5/2)

affine transformed E_Y = -1

affine transformed E_XY := sum(-189/8, -161/4, -125/8, 135/2)

affine transformed E_XY = -12

affine transformed product of means := mul(25, -1)

affine transformed product of means = -25

affine transformed covariance := sub(-12, -25)

affine transformed covariance = 13

affine transformed:E_X=25;E_Y=-1;E_XY=-12

Cov=E_XY-E_X*E_Y=13

affine two scale product := mul(2, 2)

affine two scale product = 4

affine scaled original covariance := mul(4, 13/4)

affine scaled original covariance = 13

U=(2)*X+(7);V=(2)*Y+(-7);same indexed atoms and weights

E_UV-E_U*E_V=(2)*(2)*(E_XY-E_X*E_Y)=13

逐步反向核對

• S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine scaled original covariance，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine two scale product，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed covariance，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed product of means，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed E_XY，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed E_Y，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed E_X，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom3 weighted XY，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom3 XY，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom3 weighted Y，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom3 weighted X，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom2 weighted XY，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom2 XY，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom2 weighted Y，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom2 weighted X，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom1 XY，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom1 weighted X，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom0 XY，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom0 weighted X，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom3 V，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom3 scaled Y，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom3 U，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom3 scaled X，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom2 V，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom2 scaled Y，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom2 U，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom2 scaled X，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom1 V，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom1 scaled Y，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom1 U，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom1 scaled X，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom0 V，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom0 scaled Y，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom0 U，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom0 scaled X，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original covariance，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product of means，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_XY，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_Y，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_X，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted XY，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 XY，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted Y，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted X，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted XY，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 XY，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted Y，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted X，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 XY，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted X，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 XY，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted X，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint law total mass，不以小數近似替代。

結論

(2, 7, 2, -7, 13/4, 13, Cov(aX+b,cY+d)=ac Cov(X,Y))

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。