第 12221 題：協方差

原題與已知條件

協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-affine；資料={"support":[[8,-1],[9,0],[10,1],[11,2]],"masses":[[1,8],[1,4],[1,8],[1,2]],"a":3,"b":8,"c":-2,"d":-8}。請依 [a,b,c,d,covariance,transformed_covariance,identity] 欄序回答。

• G001 — 協方差必須綁定同一完整有限joint law。操作=covariance-affine；資料={"support":[[8,-1],[9,0],[10,1],[11,2]],"masses":[[1,8],[1,4],[1,8],[1,2]],"a":3,"b":8,"c":-2,"d":-8}。請依 [a,b,c,d,covariance,transformed_covariance,identity] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-covariance

逐步推導

joint law total mass := sum(1/8, 1/4, 1/8, 1/2)

joint law total mass = 1

original distinct joint pairs=[[8, -1], [9, 0], [10, 1], [11, 2]];raw aligned masses=[[1, 8], [1, 4], [1, 8], [1, 2]]

normalized aligned masses=[1/8, 1/4, 1/8, 1/2];nonnegative=是;total=1

original atom0 weighted X := mul(1/8, 8)

original atom0 weighted X = 1

original atom0 weighted Y := mul(1/8, -1)

original atom0 weighted Y = -1/8

original atom0 XY := mul(8, -1)

original atom0 XY = -8

original atom0 weighted XY := mul(1/8, -8)

original atom0 weighted XY = -1

original atom1 weighted X := mul(1/4, 9)

original atom1 weighted X = 9/4

original atom1 weighted Y := mul(1/4, 0)

original atom1 weighted Y = 0

original atom1 XY := mul(9, 0)

original atom1 XY = 0

original atom1 weighted XY := mul(1/4, 0)

original atom1 weighted XY = 0

original atom2 weighted X := mul(1/8, 10)

original atom2 weighted X = 5/4

original atom2 weighted Y := mul(1/8, 1)

original atom2 weighted Y = 1/8

original atom2 XY := mul(10, 1)

original atom2 XY = 10

original atom2 weighted XY := mul(1/8, 10)

original atom2 weighted XY = 5/4

original atom3 weighted X := mul(1/2, 11)

original atom3 weighted X = 11/2

original atom3 weighted Y := mul(1/2, 2)

original atom3 weighted Y = 1

original atom3 XY := mul(11, 2)

original atom3 XY = 22

original atom3 weighted XY := mul(1/2, 22)

original atom3 weighted XY = 11

original E_X := sum(1, 9/4, 5/4, 11/2)

original E_X = 10

original E_Y := sum(-1/8, 0, 1/8, 1)

original E_Y = 1

original E_XY := sum(-1, 0, 5/4, 11)

original E_XY = 45/4

original product of means := mul(10, 1)

original product of means = 10

original covariance := sub(45/4, 10)

original covariance = 5/4

original:E_X=10;E_Y=1;E_XY=45/4

Cov=E_XY-E_X*E_Y=5/4

affine atom0 scaled X := mul(3, 8)

affine atom0 scaled X = 24

affine atom0 U := sum(24, 8)

affine atom0 U = 32

affine atom0 scaled Y := mul(-2, -1)

affine atom0 scaled Y = 2

affine atom0 V := sum(2, -8)

affine atom0 V = -6

affine atom1 scaled X := mul(3, 9)

affine atom1 scaled X = 27

affine atom1 U := sum(27, 8)

affine atom1 U = 35

affine atom1 scaled Y := mul(-2, 0)

affine atom1 scaled Y = 0

affine atom1 V := sum(0, -8)

affine atom1 V = -8

affine atom2 scaled X := mul(3, 10)

affine atom2 scaled X = 30

affine atom2 U := sum(30, 8)

affine atom2 U = 38

affine atom2 scaled Y := mul(-2, 1)

affine atom2 scaled Y = -2

affine atom2 V := sum(-2, -8)

affine atom2 V = -10

affine atom3 scaled X := mul(3, 11)

affine atom3 scaled X = 33

affine atom3 U := sum(33, 8)

affine atom3 U = 41

affine atom3 scaled Y := mul(-2, 2)

affine atom3 scaled Y = -4

affine atom3 V := sum(-4, -8)

affine atom3 V = -12

affine transformed atom0 weighted X := mul(1/8, 32)

affine transformed atom0 weighted X = 4

affine transformed atom0 weighted Y := mul(1/8, -6)

affine transformed atom0 weighted Y = -3/4

affine transformed atom0 XY := mul(32, -6)

affine transformed atom0 XY = -192

affine transformed atom0 weighted XY := mul(1/8, -192)

affine transformed atom0 weighted XY = -24

affine transformed atom1 weighted X := mul(1/4, 35)

affine transformed atom1 weighted X = 35/4

affine transformed atom1 weighted Y := mul(1/4, -8)

affine transformed atom1 weighted Y = -2

affine transformed atom1 XY := mul(35, -8)

affine transformed atom1 XY = -280

affine transformed atom1 weighted XY := mul(1/4, -280)

affine transformed atom1 weighted XY = -70

affine transformed atom2 weighted X := mul(1/8, 38)

affine transformed atom2 weighted X = 19/4

affine transformed atom2 weighted Y := mul(1/8, -10)

affine transformed atom2 weighted Y = -5/4

affine transformed atom2 XY := mul(38, -10)

affine transformed atom2 XY = -380

affine transformed atom2 weighted XY := mul(1/8, -380)

affine transformed atom2 weighted XY = -95/2

affine transformed atom3 weighted X := mul(1/2, 41)

affine transformed atom3 weighted X = 41/2

affine transformed atom3 weighted Y := mul(1/2, -12)

affine transformed atom3 weighted Y = -6

affine transformed atom3 XY := mul(41, -12)

affine transformed atom3 XY = -492

affine transformed atom3 weighted XY := mul(1/2, -492)

affine transformed atom3 weighted XY = -246

affine transformed E_X := sum(4, 35/4, 19/4, 41/2)

affine transformed E_X = 38

affine transformed E_Y := sum(-3/4, -2, -5/4, -6)

affine transformed E_Y = -10

affine transformed E_XY := sum(-24, -70, -95/2, -246)

affine transformed E_XY = -775/2

affine transformed product of means := mul(38, -10)

affine transformed product of means = -380

affine transformed covariance := sub(-775/2, -380)

affine transformed covariance = -15/2

affine transformed:E_X=38;E_Y=-10;E_XY=-775/2

Cov=E_XY-E_X*E_Y=-15/2

affine two scale product := mul(3, -2)

affine two scale product = -6

affine scaled original covariance := mul(-6, 5/4)

affine scaled original covariance = -15/2

U=(3)*X+(8);V=(-2)*Y+(-8);same indexed atoms and weights

E_UV-E_U*E_V=(3)*(-2)*(E_XY-E_X*E_Y)=-15/2

逐步反向核對

• S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine scaled original covariance，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine two scale product，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed covariance，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed product of means，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed E_XY，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed E_Y，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed E_X，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom3 weighted XY，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom3 XY，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom3 weighted Y，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom3 weighted X，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom2 weighted XY，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom2 XY，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom2 weighted Y，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom2 weighted X，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom1 XY，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom1 weighted X，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom0 XY，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine transformed atom0 weighted X，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom3 V，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom3 scaled Y，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom3 U，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom3 scaled X，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom2 V，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom2 scaled Y，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom2 U，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom2 scaled X，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom1 V，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom1 scaled Y，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom1 U，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom1 scaled X，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom0 V，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom0 scaled Y，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom0 U，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine atom0 scaled X，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original covariance，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original product of means，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_XY，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_Y，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original E_X，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted XY，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 XY，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted Y，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom3 weighted X，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted XY，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 XY，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted Y，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom2 weighted X，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted XY，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 XY，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted Y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom1 weighted X，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted XY，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 XY，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted Y，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original atom0 weighted X，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint law total mass，不以小數近似替代。

結論

(3, 8, -2, -8, 5/4, -15/2, Cov(aX+b,cY+d)=ac Cov(X,Y))

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。