S001 · calculation
操作前
Hilbert Gram diagonal product := mul(24, 2)
操作後
Hilbert Gram diagonal product = 48
條件：無
依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001
第 15273 題：實Hilbert空間
R0029-15273 · q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0023
原題與已知條件
inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-named-certificate；資料={"dimension":2,"matrix":[[24,1],[1,2]]}。請依 [dimension,matrix,binding,completeness,Hilbert,boundary] 欄序回答。
G001— inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-named-certificate；資料={"dimension":2,"matrix":[[24,1],[1,2]]}。請依 [dimension,matrix,binding,completeness,Hilbert,boundary] 欄序回答。
定義與適用範圍
沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
逐步推導
S002 · calculation
操作前
Hilbert Gram off-diagonal product := mul(1, 1)
操作後
Hilbert Gram off-diagonal product = 1
條件：無
依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
S003 · calculation
操作前
Hilbert Gram determinant := sub(48, 1)
操作後
Hilbert Gram determinant = 47
條件：無
依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
S004 · calculation
操作前
Hilbert completing-square slope := div(1, 24)
操作後
Hilbert completing-square slope = 1/24
條件：無
依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
S005 · calculation
操作前
Hilbert completing-square positive residual := div(47, 24)
操作後
Hilbert completing-square positive residual = 47/24
條件：無
依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
S006 · implies
操作前
complete real carrier R^2;Gram matrix=[[24, 1], [1, 2]];a=24>0;det=47>0;dimension declaration=2
操作後
x^T M x=24*(x0+(1/24)*x1)^2+(47/24)*x1^2;zero only at x=0
條件：無
對稱矩陣加正主子式，以配方給所有實向量的正定性，不是只測本題向量。配方的三角變換可逆，故此內積norm與R²座標norm等價；其Cauchy序列座標收斂，極限仍在同一R²。
步驟識別與依賴
規則：hilbert_same_complete_matrix_positive_inner_product · 依賴：G001, S005
S007 · implies
操作前
same R^2 carrier and complete Gram matrix=[[24, 1], [1, 2]];induced norm=sqrt(x^T M x);distance=norm(x-y)
操作後
same_inner_product_norm_metric_carrier;finite_dimensional_complete;no_compactness_or_separability_claim
條件：無
以同一內積產生norm、同一norm產生metric，有限維完備性適用的也是此載體與norm，才得到Hilbert資格。此答案沒有另宣稱緊緻或可分，也不由這些性質取代完備。
步驟識別與依賴
規則：hilbert_named_certificate_same_norm_metric_completeness · 依賴：G001, S006
逐步反向核對
S007· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square positive residual，不以小數近似替代。S004· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square slope，不以小數近似替代。S003· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram determinant，不以小數近似替代。S002· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram off-diagonal product，不以小數近似替代。S001· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram diagonal product，不以小數近似替代。
結論
(2, [[24, 1], [1, 2]], same_inner_product_norm_metric_carrier, finite_dimensional_complete, 是, no_compactness_or_separability_claim)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
本題覆核與來源綁定
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
來源雜湊與覆核憑證
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 3d1a5bb21c062699591fe94ee515f86a340fb5458241a908e8222c8d183d6b9ecandidate record SHA-256: edc528e9eff4af3adceabf12eb6b441cfd20dd63390c66c72b742e5ebeea5c9asemantic review receipt SHA-256: 8c0ef6ca8c5ba2754e41f30c2b32bcb757756152d97421f7396d39038c11f725question-first witness SHA-256: c7920a0ff8e724b7e566ebbda30b31d8087c136974b62f8c760fbd26ab816117Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED