第 15274 題：實Hilbert空間

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0029-15274 · q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0024

原題與已知條件

inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-named-certificate；資料={"dimension":2,"matrix":[[25,2],[2,5]]}。請依 [dimension,matrix,binding,completeness,Hilbert,boundary] 欄序回答。

G001 — inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-named-certificate；資料={"dimension":2,"matrix":[[25,2],[2,5]]}。請依 [dimension,matrix,binding,completeness,Hilbert,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-real-hilbert-space

逐步推導

S001 · calculation

操作前

Hilbert Gram diagonal product := mul(25, 5)

操作後

Hilbert Gram diagonal product = 125

條件：無

依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

Hilbert Gram off-diagonal product := mul(2, 2)

操作後

Hilbert Gram off-diagonal product = 4

條件：無

依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

Hilbert Gram determinant := sub(125, 4)

操作後

Hilbert Gram determinant = 121

條件：無

依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

Hilbert completing-square slope := div(2, 25)

操作後

Hilbert completing-square slope = 2/25

條件：無

依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

Hilbert completing-square positive residual := div(121, 25)

操作後

Hilbert completing-square positive residual = 121/25

條件：無

依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

complete real carrier R^2;Gram matrix=[[25, 2], [2, 5]];a=25>0;det=121>0;dimension declaration=2

操作後

x^T M x=25*(x0+(2/25)*x1)^2+(121/25)*x1^2;zero only at x=0

條件：無

對稱矩陣加正主子式，以配方給所有實向量的正定性，不是只測本題向量。配方的三角變換可逆，故此內積norm與R²座標norm等價；其Cauchy序列座標收斂，極限仍在同一R²。

步驟識別與依賴

規則：hilbert_same_complete_matrix_positive_inner_product · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

same R^2 carrier and complete Gram matrix=[[25, 2], [2, 5]];induced norm=sqrt(x^T M x);distance=norm(x-y)

操作後

same_inner_product_norm_metric_carrier;finite_dimensional_complete;no_compactness_or_separability_claim

條件：無

以同一內積產生norm、同一norm產生metric，有限維完備性適用的也是此載體與norm，才得到Hilbert資格。此答案沒有另宣稱緊緻或可分，也不由這些性質取代完備。

步驟識別與依賴

規則：hilbert_named_certificate_same_norm_metric_completeness · 依賴：G001, S006

逐步反向核對

S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square positive residual，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square slope，不以小數近似替代。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram determinant，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram off-diagonal product，不以小數近似替代。
S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram diagonal product，不以小數近似替代。

結論

(2, [[25, 2], [2, 5]], same_inner_product_norm_metric_carrier, finite_dimensional_complete, 是, no_compactness_or_separability_claim)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: d2c81c6f8fdf113aeabc48ee4df0fed8f9721f7cbb38fbafa17ec802e64edc8f
candidate record SHA-256: 2de7941ed0dfb604f5c8579e2f6bfeaaf239eb09b8c0b5429394c56102df3d95
semantic review receipt SHA-256: 8c0ef6ca8c5ba2754e41f30c2b32bcb757756152d97421f7396d39038c11f725
question-first witness SHA-256: c7920a0ff8e724b7e566ebbda30b31d8087c136974b62f8c760fbd26ab816117
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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