第 15210 題：實Hilbert空間

原題與已知條件

inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-component-checklist；資料={"dimension":2,"matrix":[[11,0],[0,1]],"norm_source":"same_inner_product","metric_source":"same_norm","completeness_source":"finite_dimensional_theorem"}。請依 [dimension,matrix,norm_source,metric_source,completeness_source,Hilbert] 欄序回答。

• G001 — inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-component-checklist；資料={"dimension":2,"matrix":[[11,0],[0,1]],"norm_source":"same_inner_product","metric_source":"same_norm","completeness_source":"finite_dimensional_theorem"}。請依 [dimension,matrix,norm_source,metric_source,completeness_source,Hilbert] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-real-hilbert-space

逐步推導

Hilbert Gram diagonal product := mul(11, 1)

Hilbert Gram diagonal product = 11

Hilbert Gram off-diagonal product := mul(0, 0)

Hilbert Gram off-diagonal product = 0

Hilbert Gram determinant := sub(11, 0)

Hilbert Gram determinant = 11

Hilbert completing-square slope := div(0, 11)

Hilbert completing-square slope = 0

Hilbert completing-square positive residual := div(11, 11)

Hilbert completing-square positive residual = 1

complete real carrier R^2;Gram matrix=[[11, 0], [0, 1]];a=11>0;det=11>0;dimension declaration=2

x^T M x=11*(x0+(0)*x1)^2+(1)*x1^2;zero only at x=0

complete matrix=[[11, 0], [0, 1]];dimension=2;norm source=same_inner_product;metric source=same_norm;completeness source=finite_dimensional_theorem

same inner product norm=是;same norm metric=是;same finite-dimensional completeness source=是;all components qualified=是

逐步反向核對

• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square positive residual，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square slope，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram determinant，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram diagonal product，不以小數近似替代。

結論

(2, [[11, 0], [0, 1]], same_inner_product, same_norm, finite_dimensional_theorem, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。