第 15227 題：實Hilbert空間

原題與已知條件

inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-distance；資料={"matrix":[[3,1],[1,2]],"left":[-11,-1],"right":[11,-2]}。請依 [left,right,difference,distance_square,distance] 欄序回答。

• G001 — inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-distance；資料={"matrix":[[3,1],[1,2]],"left":[-11,-1],"right":[11,-2]}。請依 [left,right,difference,distance_square,distance] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-real-hilbert-space

逐步推導

Hilbert Gram diagonal product := mul(3, 2)

Hilbert Gram diagonal product = 6

Hilbert Gram off-diagonal product := mul(1, 1)

Hilbert Gram off-diagonal product = 1

Hilbert Gram determinant := sub(6, 1)

Hilbert Gram determinant = 5

Hilbert completing-square slope := div(1, 3)

Hilbert completing-square slope = 1/3

Hilbert completing-square positive residual := div(5, 3)

Hilbert completing-square positive residual = 5/3

complete real carrier R^2;Gram matrix=[[3, 1], [1, 2]];a=3>0;det=5>0;dimension declaration=2

x^T M x=3*(x0+(1/3)*x1)^2+(5/3)*x1^2;zero only at x=0

Hilbert distance coordinate0 difference := sub(-11, 11)

Hilbert distance coordinate0 difference = -22

Hilbert distance coordinate1 difference := sub(-1, -2)

Hilbert distance coordinate1 difference = 1

Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate := mul(3, -22)

Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate = -66

Hilbert distance term(0,0) := mul(-66, -22)

Hilbert distance term(0,0) = 1452

Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate := mul(1, -22)

Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate = -22

Hilbert distance term(0,1) := mul(-22, 1)

Hilbert distance term(0,1) = -22

Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate := mul(1, 1)

Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate = 1

Hilbert distance term(1,0) := mul(1, -22)

Hilbert distance term(1,0) = -22

Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate := mul(2, 1)

Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate = 2

Hilbert distance term(1,1) := mul(2, 1)

Hilbert distance term(1,1) = 2

Hilbert distance complete bilinear sum := sum(1452, -22, -22, 2)

Hilbert distance complete bilinear sum = 1410

left=[-11, -1];right=[11, -2];same induced metric on R^2;squared norm=1410

distance=sqrt(1410)

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance complete bilinear sum，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(1,1)，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(1,0)，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(0,1)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(0,0)，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coordinate1 difference，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coordinate0 difference，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square positive residual，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square slope，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram determinant，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram diagonal product，不以小數近似替代。

結論

([-11, -1], [11, -2], [-22, 1], 1410, sqrt(1410))

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。