第 15234 題：實Hilbert空間

原題與已知條件

inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-distance；資料={"matrix":[[10,2],[2,5]],"left":[-4,1],"right":[4,-2]}。請依 [left,right,difference,distance_square,distance] 欄序回答。

• G001 — inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-distance；資料={"matrix":[[10,2],[2,5]],"left":[-4,1],"right":[4,-2]}。請依 [left,right,difference,distance_square,distance] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-real-hilbert-space

逐步推導

Hilbert Gram diagonal product := mul(10, 5)

Hilbert Gram diagonal product = 50

Hilbert Gram off-diagonal product := mul(2, 2)

Hilbert Gram off-diagonal product = 4

Hilbert Gram determinant := sub(50, 4)

Hilbert Gram determinant = 46

Hilbert completing-square slope := div(2, 10)

Hilbert completing-square slope = 1/5

Hilbert completing-square positive residual := div(46, 10)

Hilbert completing-square positive residual = 23/5

complete real carrier R^2;Gram matrix=[[10, 2], [2, 5]];a=10>0;det=46>0;dimension declaration=2

x^T M x=10*(x0+(1/5)*x1)^2+(23/5)*x1^2;zero only at x=0

Hilbert distance coordinate0 difference := sub(-4, 4)

Hilbert distance coordinate0 difference = -8

Hilbert distance coordinate1 difference := sub(1, -2)

Hilbert distance coordinate1 difference = 3

Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate := mul(10, -8)

Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate = -80

Hilbert distance term(0,0) := mul(-80, -8)

Hilbert distance term(0,0) = 640

Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate := mul(2, -8)

Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate = -16

Hilbert distance term(0,1) := mul(-16, 3)

Hilbert distance term(0,1) = -48

Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate := mul(2, 3)

Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate = 6

Hilbert distance term(1,0) := mul(6, -8)

Hilbert distance term(1,0) = -48

Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate := mul(5, 3)

Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate = 15

Hilbert distance term(1,1) := mul(15, 3)

Hilbert distance term(1,1) = 45

Hilbert distance complete bilinear sum := sum(640, -48, -48, 45)

Hilbert distance complete bilinear sum = 589

left=[-4, 1];right=[4, -2];same induced metric on R^2;squared norm=589

distance=sqrt(589)

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance complete bilinear sum，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(1,1)，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(1,0)，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(0,1)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(0,0)，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coordinate1 difference，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coordinate0 difference，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square positive residual，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square slope，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram determinant，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram diagonal product，不以小數近似替代。

結論

([-4, 1], [4, -2], [-8, 3], 589, sqrt(589))

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。