第 15249 題：實Hilbert空間

原題與已知條件

inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-distance；資料={"matrix":[[25,2],[2,5]],"left":[11,1],"right":[-11,-1]}。請依 [left,right,difference,distance_square,distance] 欄序回答。

• G001 — inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-distance；資料={"matrix":[[25,2],[2,5]],"left":[11,1],"right":[-11,-1]}。請依 [left,right,difference,distance_square,distance] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-real-hilbert-space

逐步推導

Hilbert Gram diagonal product := mul(25, 5)

Hilbert Gram diagonal product = 125

Hilbert Gram off-diagonal product := mul(2, 2)

Hilbert Gram off-diagonal product = 4

Hilbert Gram determinant := sub(125, 4)

Hilbert Gram determinant = 121

Hilbert completing-square slope := div(2, 25)

Hilbert completing-square slope = 2/25

Hilbert completing-square positive residual := div(121, 25)

Hilbert completing-square positive residual = 121/25

complete real carrier R^2;Gram matrix=[[25, 2], [2, 5]];a=25>0;det=121>0;dimension declaration=2

x^T M x=25*(x0+(2/25)*x1)^2+(121/25)*x1^2;zero only at x=0

Hilbert distance coordinate0 difference := sub(11, -11)

Hilbert distance coordinate0 difference = 22

Hilbert distance coordinate1 difference := sub(1, -1)

Hilbert distance coordinate1 difference = 2

Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate := mul(25, 22)

Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate = 550

Hilbert distance term(0,0) := mul(550, 22)

Hilbert distance term(0,0) = 12100

Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate := mul(2, 22)

Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate = 44

Hilbert distance term(0,1) := mul(44, 2)

Hilbert distance term(0,1) = 88

Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate := mul(2, 2)

Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate = 4

Hilbert distance term(1,0) := mul(4, 22)

Hilbert distance term(1,0) = 88

Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate := mul(5, 2)

Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate = 10

Hilbert distance term(1,1) := mul(10, 2)

Hilbert distance term(1,1) = 20

Hilbert distance complete bilinear sum := sum(12100, 88, 88, 20)

Hilbert distance complete bilinear sum = 12296

left=[11, 1];right=[-11, -1];same induced metric on R^2;squared norm=12296

distance=sqrt(12296)

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance complete bilinear sum，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(1,1)，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(1,0)，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(0,1)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(0,0)，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coordinate1 difference，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coordinate0 difference，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square positive residual，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square slope，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram determinant，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram off-diagonal product，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram diagonal product，不以小數近似替代。

結論

([11, 1], [-11, -1], [22, 2], 12296, sqrt(12296))

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。