R0030-15569 · q-20261014-advance-20261031-r02-bipartite-graph-0069
完整有限無向無loop簡單圖。操作=bipartite-odd-cycle；資料={"n":6,"edges":[[0,1],[1,2],[0,2],[4,5],[1,4]],"cycle":[0,1,2]}。請依 [cycle,cycle_edges,length,certificate,conclusion] 欄序回答。
G001 — 完整有限無向無loop簡單圖。操作=bipartite-odd-cycle；資料={"n":6,"edges":[[0,1],[1,2],[0,2],[4,5],[1,4]],"cycle":[0,1,2]}。請依 [cycle,cycle_edges,length,certificate,conclusion] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
complete undirected vertex carrier Fin(6);original edges=[[0, 1], [1, 2], [0, 2], [4, 5], [1, 4]]
操作後
normalized sorted simple edges=[[0, 1], [0, 2], [1, 2], [1, 4], [4, 5]];all vertices including isolates=[0, 1, 2, 3, 4, 5]
條件：無
逐邊先排端點再把邊作字典序排序，反向重複仍是同一邊而須拒絕；loop亦拒絕。完整載體包括沒有邊的頂點，不能從邊表遺漏它們。
規則：graph_complete_simple_carrier_normalized_edge_order · 依賴：G001
操作前
ordered distinct cycle vertices=[0, 1, 2];length=3;closing last-first edge is implicit
操作後
assume a valid two-part assignment;swap names if needed so first vertex has part0
條件：無
假設有有效二分，把第一點所在部命名0不失一般性；每經一條真實cycle邊就必換部。頂點清單不重複首點，最後閉合邊另核。
規則：odd_cycle_two_part_assumption_not_failed_sample · 依賴：G001, S001
操作前
odd cycle edge0 forced next part := sub(1, 0)
操作後
odd cycle edge0 forced next part = 1
條件：無
依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
cycle traversal index=0;from=0;to=1;normalized actual edge=[0, 1];forced current part=0
操作後
forced next part=1;edge present=是
條件：無
保留走訪順序，只正規化單邊端點；把原完整圖中的存在性和換部義務逐步列出，包含最後回到起點。
規則：odd_cycle_every_edge_including_closure · 依賴：G001, S003
操作前
odd cycle edge1 forced next part := sub(1, 1)
操作後
odd cycle edge1 forced next part = 0
條件：無
依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
cycle traversal index=1;from=1;to=2;normalized actual edge=[1, 2];forced current part=1
操作後
forced next part=0;edge present=是
條件：無
保留走訪順序，只正規化單邊端點；把原完整圖中的存在性和換部義務逐步列出，包含最後回到起點。
規則：odd_cycle_every_edge_including_closure · 依賴：G001, S005
操作前
odd cycle edge2 forced next part := sub(1, 0)
操作後
odd cycle edge2 forced next part = 1
條件：無
依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
cycle traversal index=2;from=2;to=0;normalized actual edge=[0, 2];forced current part=0
操作後
forced next part=1;edge present=是
條件：無
保留走訪順序，只正規化單邊端點；把原完整圖中的存在性和換部義務逐步列出，包含最後回到起點。
規則：odd_cycle_every_edge_including_closure · 依賴：G001, S007
操作前
odd length=3;initial vertex=0 assumed part0;forced closing part=1
操作後
same first vertex would have both parts0 and1;odd_cycle_proves_nonbipartite
條件：無
奇數次換部回到同一點卻要求另一部，矛盾。因此不存在任何有效二分，不只是某次嘗試失敗；其他孤立或額外頂點不消除這條奇圈。
規則：odd_cycle_parity_contradiction_universal_partition · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 odd cycle edge2 forced next part，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 odd cycle edge1 forced next part，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 odd cycle edge0 forced next part，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([0, 1, 2], [[0, 1], [1, 2], [0, 2]], 3, 是, odd_cycle_proves_nonbipartite)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: ba092e57305257ff3662d9bed1e9d647fe5e21c0142812506144133832e75c4fcandidate record SHA-256: 10f50ff53f82d04d22aab8d1476fcc8c9d95500c87c86d63fee6c45927919b92semantic review receipt SHA-256: 73bc08066ffb1a81eacb2d4e288d03f522aeefd3949fa0d97da41b484ed737bcquestion-first witness SHA-256: ac120452a208b257b8270f38351a09dcd832cdbc8d9db6b69933f83e43cc9336Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED