R0032-16680 · q-20261014-advance-20261101-r06-euler-totient-function-0030
正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-value；資料={"n":5}。請依 [n,coprime_residues,phi_n] 欄序回答。
G001 — 正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-value；資料={"n":5}。請依 [n,coprime_residues,phi_n] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
selected modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 5]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 5, 0, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001
操作前
selected modulus:original representative k=1 in1..5;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S001
操作前
selected modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 5]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 5, 0, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S002
操作前
selected modulus:original representative k=2 in1..5;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S003
操作前
selected modulus representative3:original nonnegative Euclidean inputs=[3, 5]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[3, 5, 0, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S004
操作前
selected modulus:original representative k=3 in1..5;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S005
操作前
selected modulus representative4:original nonnegative Euclidean inputs=[4, 5]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[4, 5, 0, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S006
操作前
selected modulus:original representative k=4 in1..5;verified gcd(k,n)=1
操作後
coprime indicator=1;include representative=是
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S007
操作前
selected modulus representative5:original nonnegative Euclidean inputs=[5, 5]
操作後
division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[5, 5, 1, 0]];terminal positive gcd=5
條件：無
每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。
規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S008
操作前
selected modulus:original representative k=5 in1..5;verified gcd(k,n)=5
操作後
coprime indicator=0;include representative=否
條件：無
按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。
規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S009
操作前
selected modulus exact coprime indicator count := sum(1, 1, 1, 1, 0)
操作後
selected modulus exact coprime indicator count = 4
條件：無
依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
selected modulus:complete representative range1..5;all selected coprime representatives=[1, 2, 3, 4]
操作後
phi(5)=4;representatives_1_through_n
條件：無
全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。
規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S011
S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 selected modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(5, [1, 2, 3, 4], 4)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 104a4a1cdcb0837c215d6aca21c7d252f32dd475f641b2a7e153fb832bddfb7ccandidate record SHA-256: 6dbcca202a3ac92dafaa912c588124a1bbfd56f84c913fb9ac021e7aa4af67a1semantic review receipt SHA-256: d64b4e08bda1c25dd393b7c7e4140a8734610a9b84ae47e6f0adcff7f30a0b8equestion-first witness SHA-256: 790fd6623c04ba52a6ffb0a95cea52b532a02b23bb9453926d2d9f7a825fdec8Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED