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第 16624 題：Euler φ函數

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0032-16624 · q-20261014-advance-20261101-r06-euler-totient-function-0074

原題與已知條件

正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-boundary-prime；資料={"n":24}。請依 [n,phi_n,classification] 欄序回答。

  • G001 — 正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-boundary-prime；資料={"n":24}。請依 [n,phi_n,classification] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

selected modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 24, 0, 1], [24, 1, 24, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=1 in1..24;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

selected modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 24, 0, 2], [24, 2, 12, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=2 in1..24;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

selected modulus representative3:original nonnegative Euclidean inputs=[3, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[3, 24, 0, 3], [24, 3, 8, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=3 in1..24;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

selected modulus representative4:original nonnegative Euclidean inputs=[4, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[4, 24, 0, 4], [24, 4, 6, 0]];terminal positive gcd=4

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=4 in1..24;verified gcd(k,n)=4

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

selected modulus representative5:original nonnegative Euclidean inputs=[5, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[5, 24, 0, 5], [24, 5, 4, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=5 in1..24;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

selected modulus representative6:original nonnegative Euclidean inputs=[6, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[6, 24, 0, 6], [24, 6, 4, 0]];terminal positive gcd=6

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=6 in1..24;verified gcd(k,n)=6

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

selected modulus representative7:original nonnegative Euclidean inputs=[7, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[7, 24, 0, 7], [24, 7, 3, 3], [7, 3, 2, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=7 in1..24;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

selected modulus representative8:original nonnegative Euclidean inputs=[8, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[8, 24, 0, 8], [24, 8, 3, 0]];terminal positive gcd=8

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=8 in1..24;verified gcd(k,n)=8

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

selected modulus representative9:original nonnegative Euclidean inputs=[9, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[9, 24, 0, 9], [24, 9, 2, 6], [9, 6, 1, 3], [6, 3, 2, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=9 in1..24;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

selected modulus representative10:original nonnegative Euclidean inputs=[10, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[10, 24, 0, 10], [24, 10, 2, 4], [10, 4, 2, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=10 in1..24;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

selected modulus representative11:original nonnegative Euclidean inputs=[11, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[11, 24, 0, 11], [24, 11, 2, 2], [11, 2, 5, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=11 in1..24;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

selected modulus representative12:original nonnegative Euclidean inputs=[12, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[12, 24, 0, 12], [24, 12, 2, 0]];terminal positive gcd=12

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=12 in1..24;verified gcd(k,n)=12

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

selected modulus representative13:original nonnegative Euclidean inputs=[13, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[13, 24, 0, 13], [24, 13, 1, 11], [13, 11, 1, 2], [11, 2, 5, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=13 in1..24;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

selected modulus representative14:original nonnegative Euclidean inputs=[14, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[14, 24, 0, 14], [24, 14, 1, 10], [14, 10, 1, 4], [10, 4, 2, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=14 in1..24;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

selected modulus representative15:original nonnegative Euclidean inputs=[15, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[15, 24, 0, 15], [24, 15, 1, 9], [15, 9, 1, 6], [9, 6, 1, 3], [6, 3, 2, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=15 in1..24;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

selected modulus representative16:original nonnegative Euclidean inputs=[16, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[16, 24, 0, 16], [24, 16, 1, 8], [16, 8, 2, 0]];terminal positive gcd=8

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=16 in1..24;verified gcd(k,n)=8

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

selected modulus representative17:original nonnegative Euclidean inputs=[17, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[17, 24, 0, 17], [24, 17, 1, 7], [17, 7, 2, 3], [7, 3, 2, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=17 in1..24;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

selected modulus representative18:original nonnegative Euclidean inputs=[18, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[18, 24, 0, 18], [24, 18, 1, 6], [18, 6, 3, 0]];terminal positive gcd=6

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=18 in1..24;verified gcd(k,n)=6

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

selected modulus representative19:original nonnegative Euclidean inputs=[19, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[19, 24, 0, 19], [24, 19, 1, 5], [19, 5, 3, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=19 in1..24;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

selected modulus representative20:original nonnegative Euclidean inputs=[20, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[20, 24, 0, 20], [24, 20, 1, 4], [20, 4, 5, 0]];terminal positive gcd=4

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=20 in1..24;verified gcd(k,n)=4

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

selected modulus representative21:original nonnegative Euclidean inputs=[21, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[21, 24, 0, 21], [24, 21, 1, 3], [21, 3, 7, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=21 in1..24;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

selected modulus representative22:original nonnegative Euclidean inputs=[22, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[22, 24, 0, 22], [24, 22, 1, 2], [22, 2, 11, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=22 in1..24;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

selected modulus representative23:original nonnegative Euclidean inputs=[23, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[23, 24, 0, 23], [24, 23, 1, 1], [23, 1, 23, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=23 in1..24;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

selected modulus representative24:original nonnegative Euclidean inputs=[24, 24]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[24, 24, 1, 0]];terminal positive gcd=24

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

selected modulus:original representative k=24 in1..24;verified gcd(k,n)=24

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S047

S049 · calculation

操作前

selected modulus exact coprime indicator count := sum(1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0)

操作後

selected modulus exact coprime indicator count = 8

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

selected modulus:complete representative range1..24;all selected coprime representatives=[1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23]

操作後

phi(24)=8;representatives_1_through_n

條件：無

全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。

步驟識別與依賴

規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

original n=24;exact phi=8;first proper trial divisor up to floor(sqrt(n))=2

操作後

n=1 handled before primality;classification=composite_no_prime_shortcut

條件：無

1不是質數但φ(1)=1；n≥2無不超過平方根的因數才是質數，該時所有1到n−1代表互質而φ=n−1。合數不用質數捷徑，仍回剛才完整計數。

步驟識別與依賴

規則：totient_one_prime_composite_distinct_cases · 依賴：G001, S050

逐步反向核對

  • S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 selected modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。
  • S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(24, 8, composite_no_prime_shortcut)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 771041ce9889dae86f86d245077cdf4be6870f39f90efaa4cb38c7db6deabd7b
  • candidate record SHA-256: 6ffba0ad1cebdd1f49d61f986b9efb8858e6488724d43b6573935ab70b08848a
  • semantic review receipt SHA-256: d64b4e08bda1c25dd393b7c7e4140a8734610a9b84ae47e6f0adcff7f30a0b8e
  • question-first witness SHA-256: 790fd6623c04ba52a6ffb0a95cea52b532a02b23bb9453926d2d9f7a825fdec8
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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