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第 16656 題：Euler φ函數

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0032-16656 · q-20261014-advance-20261101-r06-euler-totient-function-0081

原題與已知條件

正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-multiplicativity-instance；資料={"m":2,"n":13}。請依 [m,n,phi_m,phi_n,phi_mn,product,equal,boundary] 欄序回答。

  • G001 — 正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-multiplicativity-instance；資料={"m":2,"n":13}。請依 [m,n,phi_m,phi_n,phi_mn,product,equal,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

totient multiplicativity coprimality premise:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 13, 0, 2], [13, 2, 6, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

totient multiplicativity original modulus product := mul(2, 13)

操作後

totient multiplicativity original modulus product = 26

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

left modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 2]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 2, 0, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

left modulus:original representative k=1 in1..2;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

left modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 2]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 2, 1, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

left modulus:original representative k=2 in1..2;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

left modulus exact coprime indicator count := sum(1, 0)

操作後

left modulus exact coprime indicator count = 1

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

left modulus:complete representative range1..2;all selected coprime representatives=[1]

操作後

phi(2)=1;representatives_1_through_n

條件：無

全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。

步驟識別與依賴

規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

right modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 13, 0, 1], [13, 1, 13, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

right modulus:original representative k=1 in1..13;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

right modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 13, 0, 2], [13, 2, 6, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

right modulus:original representative k=2 in1..13;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

right modulus representative3:original nonnegative Euclidean inputs=[3, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[3, 13, 0, 3], [13, 3, 4, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

right modulus:original representative k=3 in1..13;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

right modulus representative4:original nonnegative Euclidean inputs=[4, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[4, 13, 0, 4], [13, 4, 3, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

right modulus:original representative k=4 in1..13;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

right modulus representative5:original nonnegative Euclidean inputs=[5, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[5, 13, 0, 5], [13, 5, 2, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

right modulus:original representative k=5 in1..13;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

right modulus representative6:original nonnegative Euclidean inputs=[6, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[6, 13, 0, 6], [13, 6, 2, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

right modulus:original representative k=6 in1..13;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

right modulus representative7:original nonnegative Euclidean inputs=[7, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[7, 13, 0, 7], [13, 7, 1, 6], [7, 6, 1, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

right modulus:original representative k=7 in1..13;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

right modulus representative8:original nonnegative Euclidean inputs=[8, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[8, 13, 0, 8], [13, 8, 1, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

right modulus:original representative k=8 in1..13;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

right modulus representative9:original nonnegative Euclidean inputs=[9, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[9, 13, 0, 9], [13, 9, 1, 4], [9, 4, 2, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

right modulus:original representative k=9 in1..13;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

right modulus representative10:original nonnegative Euclidean inputs=[10, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[10, 13, 0, 10], [13, 10, 1, 3], [10, 3, 3, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

right modulus:original representative k=10 in1..13;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

right modulus representative11:original nonnegative Euclidean inputs=[11, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[11, 13, 0, 11], [13, 11, 1, 2], [11, 2, 5, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

right modulus:original representative k=11 in1..13;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

right modulus representative12:original nonnegative Euclidean inputs=[12, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[12, 13, 0, 12], [13, 12, 1, 1], [12, 1, 12, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

right modulus:original representative k=12 in1..13;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

right modulus representative13:original nonnegative Euclidean inputs=[13, 13]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[13, 13, 1, 0]];terminal positive gcd=13

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

right modulus:original representative k=13 in1..13;verified gcd(k,n)=13

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S033

S035 · calculation

操作前

right modulus exact coprime indicator count := sum(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)

操作後

right modulus exact coprime indicator count = 12

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

right modulus:complete representative range1..13;all selected coprime representatives=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]

操作後

phi(13)=12;representatives_1_through_n

條件：無

全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。

步驟識別與依賴

規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

product modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 26, 0, 1], [26, 1, 26, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

product modulus:original representative k=1 in1..26;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

product modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 26, 0, 2], [26, 2, 13, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

product modulus:original representative k=2 in1..26;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

product modulus representative3:original nonnegative Euclidean inputs=[3, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[3, 26, 0, 3], [26, 3, 8, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

product modulus:original representative k=3 in1..26;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

product modulus representative4:original nonnegative Euclidean inputs=[4, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[4, 26, 0, 4], [26, 4, 6, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

product modulus:original representative k=4 in1..26;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

product modulus representative5:original nonnegative Euclidean inputs=[5, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[5, 26, 0, 5], [26, 5, 5, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

product modulus:original representative k=5 in1..26;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

product modulus representative6:original nonnegative Euclidean inputs=[6, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[6, 26, 0, 6], [26, 6, 4, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

product modulus:original representative k=6 in1..26;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

product modulus representative7:original nonnegative Euclidean inputs=[7, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[7, 26, 0, 7], [26, 7, 3, 5], [7, 5, 1, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

product modulus:original representative k=7 in1..26;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

product modulus representative8:original nonnegative Euclidean inputs=[8, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[8, 26, 0, 8], [26, 8, 3, 2], [8, 2, 4, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

product modulus:original representative k=8 in1..26;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

product modulus representative9:original nonnegative Euclidean inputs=[9, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[9, 26, 0, 9], [26, 9, 2, 8], [9, 8, 1, 1], [8, 1, 8, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

product modulus:original representative k=9 in1..26;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S053

S055 · implies

操作前

product modulus representative10:original nonnegative Euclidean inputs=[10, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[10, 26, 0, 10], [26, 10, 2, 6], [10, 6, 1, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S054

S056 · implies

操作前

product modulus:original representative k=10 in1..26;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S055

S057 · implies

操作前

product modulus representative11:original nonnegative Euclidean inputs=[11, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[11, 26, 0, 11], [26, 11, 2, 4], [11, 4, 2, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

product modulus:original representative k=11 in1..26;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

product modulus representative12:original nonnegative Euclidean inputs=[12, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[12, 26, 0, 12], [26, 12, 2, 2], [12, 2, 6, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S058

S060 · implies

操作前

product modulus:original representative k=12 in1..26;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S059

S061 · implies

操作前

product modulus representative13:original nonnegative Euclidean inputs=[13, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[13, 26, 0, 13], [26, 13, 2, 0]];terminal positive gcd=13

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

product modulus:original representative k=13 in1..26;verified gcd(k,n)=13

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S061

S063 · implies

操作前

product modulus representative14:original nonnegative Euclidean inputs=[14, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[14, 26, 0, 14], [26, 14, 1, 12], [14, 12, 1, 2], [12, 2, 6, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S062

S064 · implies

操作前

product modulus:original representative k=14 in1..26;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S063

S065 · implies

操作前

product modulus representative15:original nonnegative Euclidean inputs=[15, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[15, 26, 0, 15], [26, 15, 1, 11], [15, 11, 1, 4], [11, 4, 2, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

product modulus:original representative k=15 in1..26;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S065

S067 · implies

操作前

product modulus representative16:original nonnegative Euclidean inputs=[16, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[16, 26, 0, 16], [26, 16, 1, 10], [16, 10, 1, 6], [10, 6, 1, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S066

S068 · implies

操作前

product modulus:original representative k=16 in1..26;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S067

S069 · implies

操作前

product modulus representative17:original nonnegative Euclidean inputs=[17, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[17, 26, 0, 17], [26, 17, 1, 9], [17, 9, 1, 8], [9, 8, 1, 1], [8, 1, 8, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

product modulus:original representative k=17 in1..26;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S069

S071 · implies

操作前

product modulus representative18:original nonnegative Euclidean inputs=[18, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[18, 26, 0, 18], [26, 18, 1, 8], [18, 8, 2, 2], [8, 2, 4, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S070

S072 · implies

操作前

product modulus:original representative k=18 in1..26;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S071

S073 · implies

操作前

product modulus representative19:original nonnegative Euclidean inputs=[19, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[19, 26, 0, 19], [26, 19, 1, 7], [19, 7, 2, 5], [7, 5, 1, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S072

S074 · implies

操作前

product modulus:original representative k=19 in1..26;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S073

S075 · implies

操作前

product modulus representative20:original nonnegative Euclidean inputs=[20, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[20, 26, 0, 20], [26, 20, 1, 6], [20, 6, 3, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S074

S076 · implies

操作前

product modulus:original representative k=20 in1..26;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S075

S077 · implies

操作前

product modulus representative21:original nonnegative Euclidean inputs=[21, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[21, 26, 0, 21], [26, 21, 1, 5], [21, 5, 4, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S076

S078 · implies

操作前

product modulus:original representative k=21 in1..26;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S077

S079 · implies

操作前

product modulus representative22:original nonnegative Euclidean inputs=[22, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[22, 26, 0, 22], [26, 22, 1, 4], [22, 4, 5, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S078

S080 · implies

操作前

product modulus:original representative k=22 in1..26;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S079

S081 · implies

操作前

product modulus representative23:original nonnegative Euclidean inputs=[23, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[23, 26, 0, 23], [26, 23, 1, 3], [23, 3, 7, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S080

S082 · implies

操作前

product modulus:original representative k=23 in1..26;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S081

S083 · implies

操作前

product modulus representative24:original nonnegative Euclidean inputs=[24, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[24, 26, 0, 24], [26, 24, 1, 2], [24, 2, 12, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S082

S084 · implies

操作前

product modulus:original representative k=24 in1..26;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S083

S085 · implies

操作前

product modulus representative25:original nonnegative Euclidean inputs=[25, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[25, 26, 0, 25], [26, 25, 1, 1], [25, 1, 25, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S084

S086 · implies

操作前

product modulus:original representative k=25 in1..26;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S085

S087 · implies

操作前

product modulus representative26:original nonnegative Euclidean inputs=[26, 26]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[26, 26, 1, 0]];terminal positive gcd=26

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴

規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S086

S088 · implies

操作前

product modulus:original representative k=26 in1..26;verified gcd(k,n)=26

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴

規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S087

S089 · calculation

操作前

product modulus exact coprime indicator count := sum(1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0)

操作後

product modulus exact coprime indicator count = 12

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088

S090 · implies

操作前

product modulus:complete representative range1..26;all selected coprime representatives=[1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25]

操作後

phi(26)=12;representatives_1_through_n

條件：無

全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。

步驟識別與依賴

規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S089

S091 · calculation

操作前

totient supplied instance product of counts := mul(1, 12)

操作後

totient supplied instance product of counts = 12

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090

S092 · implies

操作前

original coprime inputs=[2, 13];gcd=1;product modulus=26;exact totients=[1, 12, 12]

操作後

phi(m)*phi(n)=12;same supplied-instance equality=是;instance_only_with_coprimality

條件：無

先核互質且三個模數都在來源允許域，再完整計三個φ並比較。這只核當前實例；未互質不套用本題協定，也不把數值相等當一般乘法性定理的證明。

步驟識別與依賴

規則：totient_coprime_instance_not_unrestricted_multiplicativity_proof · 依賴：G001, S091

逐步反向核對

  • S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 totient supplied instance product of counts，不以小數近似替代。
  • S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。
  • S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 totient multiplicativity original modulus product，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(2, 13, 1, 12, 12, 12, 是, instance_only_with_coprimality)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 6093d0b4c399c58ebe810c935687da43cd719f4497f178372d14cffa688403cc
  • candidate record SHA-256: 529287910a14844f0e67b4622839ec8f573e76c7fda09293852e069a53ca80f9
  • semantic review receipt SHA-256: d64b4e08bda1c25dd393b7c7e4140a8734610a9b84ae47e6f0adcff7f30a0b8e
  • question-first witness SHA-256: 790fd6623c04ba52a6ffb0a95cea52b532a02b23bb9453926d2d9f7a825fdec8
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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